Разностные методы решения задач теплопроводности - Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образованияВ годы после второй мировой войны развитие авиации, атомной энергетики, ракетно-космической техники выдвинуло новые постановки задач теплообмена и вместе с тем - новые, более жесткие требования к полноте и надежности прогностических возможностей теории. Это стало возможным благодаря значительному прогрессу в развитии вычислительных методов решения задач для уравнений в частных производных и увеличению мощности современных вычислительных машин. Численное моделирование процессов теплообмена в настоящее время приобретает все более значительную роль в связи с тем, что для современной науки и техники необходим достоверный прогноз таких процессов, экспериментальное изучение которых в лабораторных или натурных условиях очень сложно и дорого, а в некоторых случаях просто невозможно. Теплопроводность зависит от агрегатного состояния вещества, его состава, чистоты, температуры, давления и других характеристик. На практике часто случается, что теплопроводность внутри тела и вблизи его границ различна.var {раздел описания переменных, которые мы будем использовать в программе} i, j, N : integer; T, alfa, beta : vector; ai, bi, ci, fi : real; lamda, ro, c, h, tau : real; Tl, T0, Tr, L, t_end, time : real; Writeln("Введите окончание по времени, t_end"); Readln(t_end); while time<t_end do {используем цикл с предусловием} begin time:=time tau; Writeln(f,"Плотность материала пластины ro = ",ro:6:4); Writeln(f,"Теплоемкость материала пластины с = ",c:6:4); Writeln(f,"Начальная температура T0 = ",T0:6:4); Writeln(f,"Температура на границе x = 0, Tl = ",Tl:6:4); Writeln(f,"Температура на границе x = L, Tr = ",Tr:6:4); Writeln(f,"Результат получен с шагом по координате h = ",h:6:4); Writeln(f,"Результат получен с шагом по времени tau = ",tau:6:4); Writeln(f,"Температурное поле в момент времени t = ",t_end:6:4); close(f); Writeln(f,"Плотность материала пластины ro = ",ro:6:4); Writeln(f,"Теплоемкость материала пластины с = ",c:6:4); Writeln(f,"Начальная температура T0 = ",T0:6:4); Writeln(f,"Температура на границе x = 0, Tl = ",Tl:6:4); Writeln(f,"Температура на границе x = L, Tr = ",Tr:6:4); Writeln(f,"Результат получен с шагом по пространственной координате x, h = ",h:6:4);Если для задачи, изложенной в пункте 2.1, в качестве граничных условий на внешних поверхностях использовать граничные условия Проанализируем соотношения (16): q1 >0?на границе x =0происходитнагревматериала; Проведем дискретизацию граничных условий II рода с погрешностью O(h ). Погрешность аппроксимации вида O(h ) означает, что различия между точными значениями и полученными (приближенными) будут одного порядка с шагом по пространству h. Предположим, что на границе выполняется уравнение теплопроводности (3): ?T ??с? ?T = ?? ?2T или ?t = a? ?2T , (19) где а - коэффициент температуропроводности материала. tWriteln("Введите окончание по времени, t_end"); Readln(t_end); {увеличиваем переменную времени на шаг ?} time:=time tau; {определяем начальные прогоночные коэффициенты на основе левого граничного условия, используя соотношения (20)} alfa[1]:=2.0*a*tau/(2.0*a*tau sqr(h)); beta[1]:=(sqr(h)*T[1] 2.0*a*tau*h*q/lamda)/(2.0*a*tau sqr(h)); Writeln(f,"Плотность материала пластины ro = ",ro:6:4); Writeln(f,"Теплоемкость материала пластины с = ",c:6:4); Writeln(f,"Начальная температура T0 = ",T0:6:4); Writeln(f,"Плотность теплового потока q = ",q:6:4); Writeln(f,"Коэффициент теплообмена kapa = ",kapa:6:4); Writeln(f,"Температура внешней среды Te = ",Te:6:4); Writeln(f,"Результат получен с шагом по координате h = ",h:6:4); Writeln(f,"Результат получен с шагом по времени tau = ",tau:6:4); Writeln(f,"Температурное поле в момент времени t = ",t_end:6:4); close(f); Writeln(f,"Плотность материала пластины ro = ",ro:6:4); Writeln(f,"Теплоемкость материала пластины с = ",c:6:4); Writeln(f,"Начальная температура T0 = ",T0:6:4); Writeln(f,"Коэффициент теплообмена kapa1 = ",kapa1:6:4); Writeln(f,"Коэффициент теплообмена kapa2 = ",kapa2:6:4); Writeln(f,"Температура внешней среды Te1 = ",Te1:6:4); Writeln(f,"Температура внешней среды Te2 = ",Te2:6:4); Writeln(f,"Результат получен с шагом по координате h = ",h:6:4); Writeln(f,"Результат получен с шагом по времени tau = ",tau:6:4); Writeln(f,"Температурное поле в момент времени t = ",t_end:6:4); close(f);{с клавиатуры вводим все необходимые входные параметры} Writeln("Введите количество пространственных узлов в пластине, N"); Readln(N); Writeln("Введите окончание по времени, t_end"); Readln(t_end); {определяем расчетный шаг сетки по времени} tau:=t_en

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4 1. Метод конечных разностей (МКР) 8 2. Линейные задачи теплопроводности 8 2.1. Одномерное уравнение теплопроводности 8

2.2. Конечно-разностная аппроксимация граничных условий второго и третьего рода 30

2.3. Примеры краевых задач с различными граничными условиями 35 2.4. Двухслойная пластина 47 2.5. Задача теплопроводности с внутренними источниками 57 2.6. Двумерная задача теплопроводности для однородного тела 64 2.7. Двумерная задача теплопроводности для неоднородного тела 73 3. Нелинейные задачи теплопроводности 89

3.1. Одномерное уравнение теплопроводности с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности 89 3.2. Одномерное уравнение теплопроводности с нелинейными граничными условиями (излучение на границе) 101 3.3. Одномерное уравнение теплопроводности с фазовым переходом на границе (испарение материала) 111 3.4. Одномерное уравнение теплопроводности с химической реакцией в материале (термическое разложение) 122 3.5. Одномерное уравнение теплопроводности с подвижной границей (промерзание влажного грунта) 128 3.6. Двумерное уравнение теплопроводности с излучением на границах 140 3.7. Двумерное уравнение теплопроводности с фазовым переходом на одной из границ 150 3.8. Квазитрехмерная модель (излучение и конвекция по третьей координате) 159 Список литературы 171

3