Размерность фрактальных поверхностей - Контрольная работа

Рассмотрим один из способов определения фрактальной размерности поверхности по соотношению "периметр-площадь". Найдем размерность геометрических фигур, взяв в качестве примера диаметральное сечение шара радиусом r: · длина (диаметр) L=2r (L=Vd=1), · площадь сеченияВ двухмерном случае фрактальную кривую получают с помощью некоторой ломаной линии (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную линию, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный через n=1. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия: каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Так, для кривой Коха, выбрав фрагмент, равный 1/3 отрезка линии, длиной, равной единице, и увеличив его в три раза, получим исходный отрезок, равный единице.Облака, горы, кусты, деревья и другие растения тоже имеют фрактальную структуру. Рассмотрим процесс роста куста (рис. Сначала появилась веточка, потом она выпустила два побега, на следующем этапе каждый побег вновь раздвоился, то же самое происходит на следующем этапе, и в результате из начальной "вилки" двух побегов вырастает причудливое самоподобное растение. 5 и 6 показаны примеры построения фрактальных объектов, сходных с природными образованиями (рис.Для оценки размерности Хаусдорфа-Безиковича рассмотрим измерение множества точек ? метрического пространства (рис. Разобьем пространство на квадратные ячейки с размером стороны ячейки ? и подсчитаем число ячеек, покрывающих это множество. Уменьшение размера ячейки приводит к росту числа ячеек, покрывающих множество. Каждая ячейка имеет площадь ?2, тогда площадь множества где N(?) - число ячеек, покрывающих множество. Для характеристик" величины" (длины, объема) множества точек ? используется некоторая пробная функция , которая определяет размеры ячейки: длину при d=1, площадь при d=2, объем при d= "Величина", или мера множества ? определяется как сумма "величин" всех ячеек, покрывающих метрическое пространство ?: Константа зависит от формы ячеек (для квадратной ячейки ).Одна из процедур измерения длины заключается в следующем. Будем измерять длину линии от точки А до точки B отрезками длиной ?. Подсчитав число отрезков, найдем длину С уменьшением раствора циркуля ? число отрезков N(?) растет. Зависимость измеренной длины изломанной (береговой) линии от масштаба (длины отрезка ?) Следует ожидать, что число шагов измерительного циркуля или число покрывающих линию ячеек будет обратно пропорционально ? или ?*х ?*, а величина будет стремиться к постоянному для данной линии значению L(?).Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича (Х-Б) которого строго больше его топологической размерности (Е. Нестрогое определение, не требующее разъяснения понятий множество, размерность Х-Б, топологическая размерность, формулируется так: фрактал - это структура, состоящая из частей, подобных целому. Зависимость N(?) числа отрезков ? (или числа ячеек, покрывающих линию) от размера отрезка (или размера ячеек) описывается следующим с точностью до множителя соотношением: где D - фрактальная размерность. Если построить зависимость LGN(?)-lg(?), то фрактальная размерность равна угловому коэффициенту (наклону) графика, т.е. Размерность, определяемая путем подсчета числа клеток (ячеек), покрывающих линию в зависимости от размера клетки, называют клеточной размерностью.Две геометрические фигуры называются подобными, если: 1) угол между каждыми двумя линиями в одной из них равен углу между соответствующими линиями в другой и 2) каждый прямолинейный отрезок в одной из них находится в постоянном отношении с соответствующим ему отрезком в другой. Кроме геометрического подобия, различают кинематическое и динамическое подобия для механических явлений, лежащие в основе процедур моделирования. Можно утверждать, что прямая инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба (скейлинга), т.е. она самоподобна. Для отрезка прямой единичной длины можно выбрать коэффициент подобия r(N)=1/N, где N - любое целое число (N >1). Аналогично прямоугольный параллелепипед можно покрыть его уменьшенными копиями, выбрав масштабный множитель r(N)=(1/N)1/ В общем случае масштабный множитель следует выбрать равным r(N)=(1/N)1/d, где d - размерность подобия, равная 1 - для прямой, 2 - для плоскости и 3 - для объемных фигур.Показатель Херста позволяет определить фрактальную размерность последовательности измерений, в частности, он использовался в качестве инструмента для статистической оценки высот волн [Е. Считается установленной связь между показателем Херста и фрактальными размерностями высот волн и поверхности, которая выражается следующими простыми соотношениями для профиля и поверхности: D=2-H; DS=3-H. Представим отношение R/S, зависящее от показателя Херста, в виде где Н-показатель Херста. При репрезентативн

Содержание

1. Введение в размерность

2. Размерность геометрических объектов

3. Природные фракталы

4. Размерность Хаусдорфа-Безиковича

5. Измерение длины негладкой (изломанной) линии

6. Фрактальная размерность

7. Подобие и скейлинг

8. Самоподобие и самоаффинность

9. Показатель Херста

10. Соотношение "периметр-площадь"

11. Размерность фрактальных поверхностей

Список литературы

Важной характеристикой инженерной поверхности, наряду со стандартными параметрами шероховатости, является фрактальная размерность. Рассмотрим один из способов определения фрактальной размерности поверхности по соотношению "периметр-площадь".

Как известно, эвклидова размерность точки DE=d=0. Найдем размерность геометрических фигур, взяв в качестве примера диаметральное сечение шара радиусом r: · длина (диаметр) L=2r (L=Vd=1), · площадь сечения A=pr2 (A=Vd=2), · объем шара V=(4/3)pr3 (V=Vd=3).

Эти известные измеряемые величины могут быть определены по общей формуле

Здесь

где Г(х) ? гамма функция, равная

Если n ? целое число, то при n=0,1,2,…