Различные подходы к определению тригонометрических функций - Дипломная работа

Тригонометрия, как и всякая научная дисциплина, возникла из практической деятельности человечества. Еще в древнем мире потребности астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели к необходимости решать задачи на соотношение между углами и сторонами в треугольнике. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, в переводе на русский язык означает «измерение треугольников»: ??????? (тригонон) - треугольник, ?????? (метрейн) - измерение. На втором этапе соотношения тригонометрии определяются с помощью окружности. Третье обличие принимает тригонометрия, когда она появляется в системе начал анализа.Термин «тригонометрия» был впервые введен в 1595 году немецким богословом - математиком Бартоломеем Питиском (1561 - 1613), известным в то время автором учебника тригонометрии и тригонометрических таблиц. Возникновение тригонометрии связано с развитием астрономии - науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной - и географии. Астрономия - одна из древнейших наук, в свою очередь возникшая из потребностей знать сроки смены времен года, измерять и считать время, иметь календарь. Солнце днем, Луна, планеты и звезды ночью испокон веков служили человеку для определения не только часа дня и времени года, но и положение кораблей в открытом море и для указания правильного пути караванам в пустыне. Так как некоторые расстояния, например от Земли до планет, нельзя было измерить непосредственно, то ученые стали разрабатывать приемы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на Земле, а третья представляет планета или звезда.В древней Греции тригонометрия, как часть астрономии, достигла значительного развития. Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного треугольника, то есть определения его элементов по трем данным элементам, из которых хотя бы один - сторона треугольника. Для решения этой задачи вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих разным центральным углам круга постоянного радиуса. Первые тригонометрические таблицы хорд были составлены астрономом - математиком Гиппархом из Никеи (II век до н. э). По существу современная таблица синусов эквивалентна таблице хорд двойных углов, так как очевидно, что в круге радиуса г для хорды, стягивающей дугу центрального угла а, справедливо равенство: хорда а = 2r sin .Как и другие научные книги индийцев, сочинение по астрономии написаны в стихотворной форме, а математические правила выражаются словесно, а причем доказательства обычно не приводятся. Важнейшее значение дня истории математики имела замена хорды синусом. В вычислениях вместо хорды АВ, проведенной в круге с центром О и стягивающей центральный угол а (рис.4), стали пользоваться полухордой АС, введя таким образом линию синуса угла . Помимо линии синуса, в индийской тригонометрии фигурировали линия косинуса ОС и линия синуса-верзуса CD, которая представляет собой разность между радиусом и линией косинуса. Тогда можно определить и хорду ВС, которая представляет собой хорду разности дуг BD и CD.Важнейший период истории тригонометрии связан с деятельностью ученых Ближнего и Среднего Востока. Обобщив результаты, полученные предшественниками, ученые ближнего и Среднего востока развили тригонометрические методы и уже в XII в. фактически превратили тригонометрию в самостоятельную науку. Первый из них прославился прежде всего сочинениями по математике: его имя связывается с созданием алгебры и с распространением арифметики, основанной на десятичной позиционной системе счисления с применением нуля. Он приводит таблицу синусов (до секунд включительно) и правило пользования ею, разъясняет, как с помощью этой таблицы найти синус и обращенный синус по данной дуге и как по данному синусу найти дугу. Приведем для иллюстрации цитату из его «Книги приложений к Альмагесту», содержащую определение тангенса и котангенса в связи с задачей нахождения высоты солнца: «Пусть ABCD (рис.7) - круг высоты, его центр Е, a DI - пересечение плоскостей круга, высоты и круга горизонта; DE - гномон, стоящий под прямым углом к плоскости горизонта в точке D, СК - пересечение плоскости круга высоты и плоскости, стоящий под прямым углом к горизонту в точке С, а СЕ - гномон, стоящий на этой плоскости.Обзор развития тригонометрии в Европейских странах, где в XVB., начался новый период истории этой науки, следует начать с трудов западноарабских ученых, которые были посредниками в передаче достижений математиков и астрономов Ближнего и Среднего Востока на «Латинский» Запад. Таким образом, благодаря трудам этих ученых в то время в Испании стали общедоступными сведения по тригонометрии, которыми располагали астрономы Ближнего и Среднего Востока. В нем содержатся, в частности, таблицы синусов при радиусе, равном 150, и описан индийский метод их вычисления; приведены также таблицы восхождений, вычисленные для различных широт по индийскому методу и методу Птолемея. Выдающимся представителем школы переводчиков был Герардо Кремонский (1114-

Содержание

Введение

Глава 1. Из истории тригонометрии

1.1 Зарождение тригонометрии

1.2 Тригонометрия в Древнем Мире

1.2.1 Греческая тригонометрия

1.2.2 Индийская тригонометрия

1.3 Развитие тригонометрии в Средневековье

1.3.1 Тригонометрия на Ближнем и Среднем Востоке. Плоская тригонометрия

1.3.2 Тригонометрия в трудах европейских ученых

1.4 Развитие тригонометрии в работах европейских ученых XVIII-XIX веков

Глава 2. Различные подходы к введению тригонометрических функций

2.1 Введение тригонометрических функций на уроках алгебры и начал анализа по учебнику А. Г. Мордковича

2.1.1 Понятие числовой окружности на координатной плоскости

2.1.2 Синус, косинус, тангенс и котангенс

2.1.3 Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Формулы приведения

2.1.4 Функции y=sin?x и y=cos?x, их свойства и графики. Периодичность

2.1.5 Построение графиков функции y=m•f(x) и y=f(k•x), если известен график функции y=f(x). График гармонического колебания

2.1.6 Функции y=tg x и y=ctg x, их свойства и графики

2.2 Введение тригонометрических функций на уроках алгебры и начал анализа по учебнику М.И. Башмакова

2.2.1 Вводная беседа

2.2.2 Определение и простейшие свойства тригонометрических функций

2.2.3 Исследование тригонометрических функций

2.3 Определение тригонометрических функций как сумм степенных рядов

2.4 Аксиоматическое определение тригонометрических функций

2.5 Тригонометрические функции как решения линейного дифференциального уравнения

2.6 Определение тригонометрических функций при помощи обращения интегралов

2.7 Тригонометрические функции как решение системы функциональных уравнений

Заключение

Литература

Тригонометрия, как и всякая научная дисциплина, возникла из практической деятельности человечества. Еще в древнем мире потребности астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели к необходимости решать задачи на соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

Само название «тригонометрия» греческого происхождения, в переводе на русский язык означает «измерение треугольников»: ??????? (тригонон) - треугольник, ?????? (метрейн) - измерение.

Содержание тригонометрии представляется состоящим из трех частей.

В школе тригонометрический материал впервые появляется в курсе планиметрии. С помощью тригонометрии решаются плоские треугольники. Тригонометрические соотношения получают названия «синус», «тангенс» и т.д.

На втором этапе соотношения тригонометрии определяются с помощью окружности. Хотя они по-прежнему определяются как функции углов, но эти углы уже произвольно велики, их меры выражаются в радианах. Рассматриваются основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия. И весь этот материал предстает перед учащимися уже как часть алгебры, а не геометрии, как прежде.

Третье обличие принимает тригонометрия, когда она появляется в системе начал анализа. Здесь идет речь о тригонометрических функциях, об их структуре, свойствах и приложениях.

Такое распределение материала вызывает свои методические трудности. Элементы тригонометрических знаний в ходе преподавания могут оказаться разделенными или же слабо связанными. Чтобы найти эффективные методические приемы, позволяющие сохранить единство тригонометрических познаний и возможность широкого их истолкования, учителю математики необходимо знать историю формирования этого раздела математики, ведь в процессе обучения ребенок проходит все те же этапы, что и все человечество при формировании самой науки. В связи с этим история возникновения тригонометрической науки представляет несомненный интерес. К этому вопросу неоднократно возвращались в своих работах Г.И.Глейзер [1], Г.П.Матвиевская [3], К.А.Рыбников [4] и др.

Поэтому одна из целей данной работы - дать исторический обзор формирование тригонометрии как науки. Кроме того рассматриваются различные способы введения понятия тригонометрических функций.

Для достижения поставленных целей решались следующие задачи: • Анализ имеющейся литературы по истории тригонометрии;

• Анализ школьных учебников М. И. Башмакова и А. Г. Мордковича;

• Анализ различных подходов к определению тригонометрических функций.

Практическая ценность материала, содержащегося в работе, состоит в том, что он может быть использован при изучении тригонометрии в школе, а также при изложении методики изучения этого раздела в педагогическом вузе.

В своей работе мы ограничились рассмотрением вопросов, касающихся, в основном, плоской тригонометрии.