Систематизация различных методов решения планиметрических задач. Обоснование рациональности решения планиметрической задачи методами дополнительных построений, подобия треугольников, векторного аппарата, соотношения углов и тригонометрической замены.
К ним относятся: · методы с использованием дополнительных построений; · методы, основанные на подобии треугольников; · методы, использующие соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника; Актуальность: В заданиях группы В (планиметрия) единого государственного экзамена по математике содержаться такие задачи, при решении которых учащиеся испытывают определенные затруднения, что ведет к потере времени на экзамене. Методы, предложенные в моей работе, позволяют решить эти задания быстро и легко.Задача: Найти среднюю линию MN трапеции ABCD с основаниями BC и AD, если BD = 6см, AC = 8см, BD ^AC. Методы, использующие дополнительные построения (ДП) ДП: проведем CE||BD, CE?AE=E?BCED - параллелограмм, (BD||CE и BC||DE, BC=DE=a, CE=BD=6см.) 1. Д.П.: проведем средние линии ?ABD (MK||BD) и ?ACD (NK||AC) ?BOC=?KAM1 (ПО? признаку: BO=KM1, OC=AM1, по построению, ?BOC=?KM1A=90°, накрест лежащие при BN1|| KM1, M1C - секущей) AK=BC.Рассмотрим ?BB1D: sin?=(90-?)=h/6?cos?=h/6. Рассмотрим ?CC1A:sin?=h/8. Приравняв обе формулы площади трапеции, мы получим: MN=24/h=5. Рассмотрим ?BOC tga=4/3?cos =3/5(1 tg2a = 1/cos2a) 3. Рассмотрим ?BOC OC/BC = cosa ? BC = OC/cosa = 5x/3 4.Для того, что бы узнать какие из представленных в работе способов будут использовать ученики, для решения это задачи, мы предложили решить эту задачу группе учащихся 8-11 классов МОУ «Кормиловский лицей». Задачу решали 9 человек 8-9 классов и 8 человек 10-11 классов, наиболее интересующихся математикой. Оказалось, что ученики, чаще всего используют «метод, основанный на подобии треугольников» (2) с использованием теоремы Пифагора (Приложение 1). Но изза того, что получались сложные подкоренные выражения, 3 ученика 8 класса недорешали эту задачу. После консультации 1 ученик 8 класса решил еще одним методом и 1 ученик 9 класса решил эту задачу еще тремя методами.В ходе нашей работы было выявлено 15 различных методов решения конкретной планиметрической задачи. Методы, использующие дополнительные построения (ДП);«Коэффициент подобия треугольников»«Соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника и подобие треугольников»Методы, использующие векторный аппарат. На наш взгляд, самым понятным и простым является метод, использующий дополнительные построения. Проведенное исследование среди 8-11 классов показало, что большинство учащихся начинали решать эту задачу методом, основанным на подобии треугольника, и использованием теоремы Пифагора. Учащиеся 10-11 классов также начинали решать эту задачу методом, основанным на подобии треугольника, и использованием теоремы Пифагора, но, столкнувшись с тем, что этот процесс достаточно трудоемкий, пришли к выводу, что данную задачу оптимальнее всего решать эту задачу методом дополнительных построений.
План
Содержание
Введение
I. Различные методы решения планиметрической задачи на примере конкретной задачи
1. Методы, использующие дополнительные построения
1.1 «Прямая параллельная диагонали»
1.2 «Средние линии треугольников»
1.3 «Середины сторон трапеции»
1.4 «Первый признак равенства треугольников»
1.5 «Второй признак равенства треугольников»
1.6 «Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства параллельных прямых»
2. Методы, основанные на подобии треугольников
2.1 «Подобие треугольников».
2.2 «Коэффициент подобия треугольников»
2.3 «Метод тригонометрической замены»
3. Методы, использующие соотношение между углами и сторонами треугольника
3.1 «Метод площадей и тригонометрия»
3.2 «Соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника и подобие треугольников»
3.3 «Метод высот»
4. Координатный метод
5. Методы, использующие векторный аппарат
5.1 «Сложение векторов»
5.2. «Коллинеарные векторы»
II Исследование
Заключение
Библиографический список
Приложение 1
Приложение 2
Введение
В математике известно много методов решения разных задач, которые актуальны и по сей день. К ним относятся: · методы с использованием дополнительных построений;
· методы, основанные на подобии треугольников;
· методы тригонометрической замены;
· методы, использующие соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника;
· методы, использующие векторный аппарат.
Актуальность: В заданиях группы В (планиметрия) единого государственного экзамена по математике содержаться такие задачи, при решении которых учащиеся испытывают определенные затруднения, что ведет к потере времени на экзамене.
Методы, предложенные в моей работе, позволяют решить эти задания быстро и легко.
Умение решать планиметрическую задачу несколькими способами - один из залогов успешного решения стереометрических задач.
Исходя из выше сказанного
Цель работы: Изучить и систематизировать различные методы решения планиметрических задач на примере конкретной задачи.
Задачи: 1. Определить, действительно ли одну задачу можно решить несколькими методами.
2. Познакомиться с многообразием решений планиметрических задач.
3. Найти самый рациональный способ решения.
4. Узнать какой из методов чаще всего используют ученики 8 - 10 классов.
Объект исследования: Планиметрическая задача.
Предмет исследования: Методы решения планиметрической задачи.
Гипотеза: Владение различными методами решения задач позволит выпускнику выбирать наиболее рациональный метод.
Изучая в школе предмет «Геометрия», мы приобретаем набор методов решения планиметрических задач. Нами была выбрана планиметрическая задача, которую можно было решать различными методами. Прорешав ее известными нам методами, мы обратились к литературе за дополнительными методами решения. Провели классификацию этих методов. Выбрали более оптимальные. Предложили учащимся 8-11 классов решить данную задачу и выявили наиболее «популярные» методы решения. подобие треугольник вектор тригонометрическая замена
Вывод
В ходе нашей работы было выявлено 15 различных методов решения конкретной планиметрической задачи.
1. Методы, использующие дополнительные построения (ДП);
1.1. «Прямая, параллельная диагонали»
1.2. «Средние линии треугольников»
1.3. «Середины сторон трапеции»
1.4. «Первый признак равенства треугольников»
1.5. «Второй признак равенства треугольников»
1.6. «Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства параллельных прямых»
Список литературы
1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. «Геометрия 7-9», Москва, «Просвещение», 2005г.
2.И.Ф. Шарыгин «Факультативный курс по математике: решение задач », Москва, «Просвещение», 1989г.
