Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. C tex пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей. Среди них нельзя не обратить внимание на труды Пуассона (1781-1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, a также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы.Используем разложение функции ех в ряд Маклорена: Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, взяв х=а, получим следовательно Определим основные характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ee возможных значений на их вероятности. По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений: Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать c m=1: Таким образом, параметр a представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х. Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ee математического ожидания: Однако, удобнее ee вычислять по формуле: Поэтому найдем сначала второй начальный момент величины Х: По ранее доказанному кроме того, следовательно, Далее можно найти дисперсию случайной величины Х: Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ee математическому ожиданию a. Это свойство распределения Пуассона часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза o tom, что случайная величина распределена по закону Пуассона.В заключение хочется отметить то, что распределение Пуассона является достаточно распространенным и важным распределением, имеющим применение как в теории вероятностей и ee приложениях, так и в математической статистике.
Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. На сегодняшний день это полноценная наука, имеющая большое практическое значение.
История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. C tex пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей.
Среди них нельзя не обратить внимание на труды Пуассона (1781-1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, a также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. C именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ee приложениях.
Именно этому закону распределения и посвящена данная курсовая работа. Речь пойдет непосредственно o законе, o его математических характеристиках, особых свойствах, связи c биномиальным распределением. Несколько слов будет сказано по поводу практического применения и приведено несколько примеров из практики.
1.Определение закона Пуассона
Во многих задачах практики приходится иметь дело co случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который носит название закона Пуассона.
Рассмотрим прерывную случайную величину Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2, … , m, … ; причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.
Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой:
где a - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.
Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом: хм 0 1 2 … m …
Pm e-a … …
Вывод
В заключение хочется отметить то, что распределение Пуассона является достаточно распространенным и важным распределением, имеющим применение как в теории вероятностей и ee приложениях, так и в математической статистике.
Многие задачи практики сводятся в конечном счете к распределению Пуассона. Его особое свойство, заключающееся в равенстве математического ожидания и дисперсии, часто применяют на практике для решения вопроса, распределена случайная величина по закону Пуассона или нет.
Также важен тот факт, что закон Пуассона позволяет находить вероятности события в повторных независимых испытаниях при большом количестве повторов опыта и малой единичной вероятности.
Список литературы
Вентцель E.C. Теория вероятностей. - М, "Высшая школа" 1998
Гмурман В.E. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М, "Высшая школа" 1998
Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В. - М, Наука 1990
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
