Расчет доверительных интервалов и критериев согласия для различных числовых характеристик, а также восстановление сигнала из смеси – сигнал шум, используя метод наименьших квадратов. Разработка универсальной программы для извлечения сигнала из смеси.
При низкой оригинальности работы "Расчет доверительных интервалов для различных числовых характеристик", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Целью данной курсовой работы является получение практических знаний в сфере точечного и интервального оценивания математического ожидания и дисперсии, проверки гипотез, а также освоение метода наименьших квадратов в регрессионном анализе.В первой части данной работы нужно разъяснить, что такое точечное и интервальное оценивание, а так же закрепить полученные знания на примере оценивания таких параметров, как дисперсия, математическое ожидание и вероятность. г) считая распределение генеральной совокупности нормальным, найти границы доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии при надежности а= 0,95; д) проверить с помощью критерия Х2 гипотезу о том, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением равными соответственно статистическому среднему и статистическому среднему квадратичному отклонению. Параметры законов распределения обычно оцениваются по выборке, т.е строится функция выборочных данных, которая мало отличается от истинного значения параметра. Вероятность того, что истинное значение лежит в интервале называется доверительной вероятностью (коэффициентом доверия) или надежностью, соответствующей данному доверительному интервалу.В работе выполнены расчеты, связанные с нахождение доверительных интервалов для математического ожидания, дисперсии и вероятности. Для заданной генеральной совокупности построены гистограмма и полигон, найдены оценки математического ожидания и дисперсии, а также доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. Отсюда следует вывод, что гипотеза о нормальном законе распределения генеральной совокупности должна быть отвергнута. доверительный интервал наименьший квадрат Первые математические результаты, связанные с регрессионным анализом, сделаны в предположении, что регрессионная ошибка распределена нормально с параметрами N(0,1), ошибка для различных объектов считаются независимыми. На основании оценок регрессионных коэффициентов рассчитываются значения Y: О качестве полученного уравнения регрессии можно судить, исследовав - оценки случайных ошибок уравнения.С помощью регрессионного анализа (метода МНК) был выделен тренд в рамках модели кубической параболы, т.е. оценены значения коэффициентов модели и рассчитаны доверительные интервалы для них.В результате проведенной работы были закреплены теоретические знания и приобретены практические навыки работы со статистиками, умение находить точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии, строить гистограммы и полигоны.
Вывод
В ходе работы над первой частью курсовой работы был написан теоретический обзор по точечному и интервальному оцениванию. В работе выполнены расчеты, связанные с нахождение доверительных интервалов для математического ожидания, дисперсии и вероятности. Для заданной генеральной совокупности построены гистограмма и полигон, найдены оценки математического ожидания и дисперсии, а также доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. С помощью критерия согласия Пирсона проверена гипотеза о том, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности. В результате анализа, гипотеза не подтвердилась, т.к. получилось, что . Отсюда следует вывод, что гипотеза о нормальном законе распределения генеральной совокупности должна быть отвергнута. доверительный интервал наименьший квадрат
1.4 Регрессионный анализ. Метод наименьших квадратов. Классическая линейная модель регрессионного анализа
Линейная модель связывает значения зависимой переменной y(x) со значениями независимых показателей Xk (факторов) формулой: y(x)=B0 B1X1 : BPXP e где e - случайная ошибка. Здесь Xk означает не "икс в степени k", а переменная X с индексом k. Величина e называется ошибкой регрессии. Первые математические результаты, связанные с регрессионным анализом, сделаны в предположении, что регрессионная ошибка распределена нормально с параметрами N(0,1), ошибка для различных объектов считаются независимыми. Кроме того, в данной модели мы рассматриваем переменные X как неслучайные значения, Такое, на практике, получается, когда идет активный эксперимент, в котором задают значения X (например, назначили зарплату работнику), а затем измеряют y(x) (оценили, какой стала производительность труда). За это иногда зависимую переменную называют откликом. Теория регрессионных уравнений со случайными независимыми переменными сложнее, но известно, что, при большом числе наблюдений, использование метода разработанного для неслучайных X корректно.
Для получения оценок коэффициентов регрессии минимизируется сумма квадратов ошибок регрессии:
Решение задачи сводится к решению системы линейных уравнений относительно .
На основании оценок регрессионных коэффициентов рассчитываются значения Y:
О качестве полученного уравнения регрессии можно судить, исследовав - оценки случайных ошибок уравнения.
Так как мы ищем оценки , используя случайные данные, то они, в свою очередь, будут представлять случайные величины.
Запишем систему линейных уравнений в матричном виде
Искомые параметры будут находиться по формуле:
Оценка дисперсии случайной ошибки получается по формуле
, где m - число параметров тренда
N - объем выборки
Величина S называется стандартной ошибкой регрессии. Чем меньше величина S, тем лучше уравнение регрессии описывает независимую переменную Y.
Доверительный интервал для каждого из коэффициентов тренда имеет вид:
Где - точечная оценка параметра
S - дисперсия для ошибок наблюдения
- квантиль уровня от (N-m) для распределения Стьюдента
1.5 Расчеты
Дан истинный тренд функции с параметрами, и смесь сигнал шум:
где
Находим коэффициенты полинома по МНК:
График найденной функции и тренда:
Найденные коэффициенты
Найдем доверительный интервал для заданных коэффициентов полинома:
Квантили распределения Стьюдента, найденные в таблице:
График разности тренда от найденной функции:
Максимальное отклонение от тренда:С помощью регрессионного анализа (метода МНК) был выделен тренд в рамках модели кубической параболы, т.е. оценены значения коэффициентов модели и рассчитаны доверительные интервалы для них. График эмпирического тренда, найденный с помощью регрессионного анализа, несколько отличается от истинного тренда. Выявлены зоны, где отклонения эмпирического тренда от теоретического наибольшие.В результате проведенной работы были закреплены теоретические знания и приобретены практические навыки работы со статистиками, умение находить точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии, строить гистограммы и полигоны. Был изучен метод МНК (регрессионного анализа), при помощи которого удается выделить тренд из смеси сигнал шум.
Список литературы
1. Лекции по математической статистике. Чернова Н.И.2007
