Розвиток теорії нелінійних еліптичних та параболічних диференціальних рівнянь в перфорованих областях. Розробка варіаційних методів дослідження асимптотичної поведінки крайових задач. Аналіз розподілу неоднорідностей складної неперіодичної структури.
Аннотация к работе
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукНауковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Скрипник Ігор Володимирович Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, академік НАН України Хруслов Євген Якович, заступник директора з наукової роботи Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Вєркіна НАН України, доктор фізико-математичних наук Мельник Тарас Анатолійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математичної фізики механіко-математичного факультету. Захист відбудеться ”25 ”жовтня 2005р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України, 01601, м.Такі рівняння розглядаються в областях складної структури, наприклад таких, що мають границю, яка складається з великої кількості малих компонент, що не перетинаються між собою. Складна структура областей не заважає доведенню існування та єдиності розвязків крайових задач, але визначити ці розвязки як точними, так і наближеними методами практично неможливо. Отже, велике значення набуває питання про побудову більш простих задач такого ж самого типу в певних областях, до розвязку яких і будуть наближатися шукані розвязки. Побудова граничних задач, умови при яких збігається розвязок вихідної задачі до розвязку граничної, задачі на власні значення - лише кілька питань, яких торкається ця теорія. В 60-х роках минулого століття зявляються перші роботи по усередненню диференціальних рівнянь з частинними похідними в областях з дрібнозернистою границею.Будемо вважати, що функції ajk(x,t), aj(x,t), a(x,t), f(x,t), g(x,t), j,k=1,…,n, визначені при XIW, TI(0,T), вимірні та задовольняють такі умови з додатними n, m1, m2 : А1) функції ajk(x,t) мають узагальнені похідні по x і задовольняють нерівностям з довільним XIRN Головну роль при вивченні асимптотичної поведінки послідовності {us(x,t)} відіграють функції vi(s)(x,t), що визначаються як розвязки допоміжних задач де w : R1 ® R1 - фіксована нескінченно диференційована функція, що дорівнює одиниці на (-?,?), нулю на [1,?] і така, що 0?w(z)?1 при ZIR1. Введемо функції ji(s) в такий спосіб: Далі, визначимо асимптотичний розклад us (x,t) = u0 (x,t) - [g(x,t) - u0 (x,t) ] rs (x,t) ws (x,t), (7) де , а функція u0 (x,t)IC([0,T];L2(W)) є розвязком такої усередненої граничної задачі: Тут c(x,t) - невідємна функція, що визначається ємкісними характеристиками множин Fi(s) і має оцінку c(x,t)?C0 зі сталою С0. При вивченні асимптотичної поведінки послідовності {us(x,t)}велику роль відіграють функції , що визначаються як розвязки такої допоміжної задачі де w : R1 ®R1 означається так само, як і для задачі (4)-(6). Визначимо асимптотичний розклад послідовності {us(x,t)} us (x,t)= u0 (x,t) rs (x,t) ws (x,t), (17) де , ws(x,t) - залишковий член асимптотичного розкладу, а функція u0(x,t)IC([0,T];L2(W)) є розвязком усередненої граничної задачі де функція c(x,t,q) означена при (x,t)I[0,T], QIR1, і така, що для довільних t1, t2I(0,T) і довільної кулі B I W виконано рівність ii) тут Is(B)={i: 1?і?I(s), xi(s)IB}, - розвязок задачі (14)-(16) при q(t) = q для 0 ? t ? T .1) Для лінійної параболічної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при обємному розподілі неоднорідностей доведено рівномірну збіжність до нуля залишкового члена асимптотичного розкладу. 2) В випадку нелінійної параболічної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при обємному розподілі неоднорідностей для залишкового члена асимптотичного розкладу було доведено сильну збіжність до нуля в просторі V2 (QT) і рівномірну збіжність до нуля. 3) В випадку нелінійної параболічної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при поверхневому розподілі неоднорідностей для залишкового члена асимптотичного розкладу було доведено сильну збіжність до нуля в просторі V2 (QT) і рівномірну збіжність до нуля. 4) Для нелінійної еліптичної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при поверхневому розподілі неоднорідностей доведено рівномірну збіжність до нуля залишкового члена асимптотичного розкладу. 5) Доведено поточкову оцінку на просторову похідну для розвязку модельної нелінійної параболічної задачі.