Рівномірне наближення розв’язків нелінійних задач в перфорованих областях - Автореферат

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукНауковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Скрипник Ігор Володимирович Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, академік НАН України Хруслов Євген Якович, заступник директора з наукової роботи Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Вєркіна НАН України, доктор фізико-математичних наук Мельник Тарас Анатолійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математичної фізики механіко-математичного факультету. Захист відбудеться ”25 ”жовтня 2005р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України, 01601, м.Такі рівняння розглядаються в областях складної структури, наприклад таких, що мають границю, яка складається з великої кількості малих компонент, що не перетинаються між собою. Складна структура областей не заважає доведенню існування та єдиності розвязків крайових задач, але визначити ці розвязки як точними, так і наближеними методами практично неможливо. Отже, велике значення набуває питання про побудову більш простих задач такого ж самого типу в певних областях, до розвязку яких і будуть наближатися шукані розвязки. Побудова граничних задач, умови при яких збігається розвязок вихідної задачі до розвязку граничної, задачі на власні значення - лише кілька питань, яких торкається ця теорія. В 60-х роках минулого століття зявляються перші роботи по усередненню диференціальних рівнянь з частинними похідними в областях з дрібнозернистою границею.Будемо вважати, що функції ajk(x,t), aj(x,t), a(x,t), f(x,t), g(x,t), j,k=1,…,n, визначені при XIW, TI(0,T), вимірні та задовольняють такі умови з додатними n, m1, m2 : А1) функції ajk(x,t) мають узагальнені похідні по x і задовольняють нерівностям з довільним XIRN Головну роль при вивченні асимптотичної поведінки послідовності {us(x,t)} відіграють функції vi(s)(x,t), що визначаються як розвязки допоміжних задач де w : R1 ® R1 - фіксована нескінченно диференційована функція, що дорівнює одиниці на (-?,?), нулю на [1,?] і така, що 0?w(z)?1 при ZIR1. Введемо функції ji(s) в такий спосіб: Далі, визначимо асимптотичний розклад us (x,t) = u0 (x,t) - [g(x,t) - u0 (x,t) ] rs (x,t) ws (x,t), (7) де , а функція u0 (x,t)IC([0,T];L2(W)) є розвязком такої усередненої граничної задачі: Тут c(x,t) - невідємна функція, що визначається ємкісними характеристиками множин Fi(s) і має оцінку c(x,t)?C0 зі сталою С0. При вивченні асимптотичної поведінки послідовності {us(x,t)}велику роль відіграють функції , що визначаються як розвязки такої допоміжної задачі де w : R1 ®R1 означається так само, як і для задачі (4)-(6). Визначимо асимптотичний розклад послідовності {us(x,t)} us (x,t)= u0 (x,t) rs (x,t) ws (x,t), (17) де , ws(x,t) - залишковий член асимптотичного розкладу, а функція u0(x,t)IC([0,T];L2(W)) є розвязком усередненої граничної задачі де функція c(x,t,q) означена при (x,t)I[0,T], QIR1, і така, що для довільних t1, t2I(0,T) і довільної кулі B I W виконано рівність ii) тут Is(B)={i: 1?і?I(s), xi(s)IB}, - розвязок задачі (14)-(16) при q(t) = q для 0 ? t ? T .1) Для лінійної параболічної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при обємному розподілі неоднорідностей доведено рівномірну збіжність до нуля залишкового члена асимптотичного розкладу. 2) В випадку нелінійної параболічної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при обємному розподілі неоднорідностей для залишкового члена асимптотичного розкладу було доведено сильну збіжність до нуля в просторі V2 (QT) і рівномірну збіжність до нуля. 3) В випадку нелінійної параболічної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при поверхневому розподілі неоднорідностей для залишкового члена асимптотичного розкладу було доведено сильну збіжність до нуля в просторі V2 (QT) і рівномірну збіжність до нуля. 4) Для нелінійної еліптичної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при поверхневому розподілі неоднорідностей доведено рівномірну збіжність до нуля залишкового члена асимптотичного розкладу. 5) Доведено поточкову оцінку на просторову похідну для розвязку модельної нелінійної параболічної задачі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ