Огинаючі лінії диференціального рівняння. Брахистохрона з фіксованою абсцисою правого кінця. Геодезичні лінії на кривої поверхні. Криволінійна трапеція з найбільшою площею. Крива прогину гнучкої нерозтяжної нитки. Поверхня обертання найменшої площі.
Однак у більшості випадків можна встановити звязок між величинами (функціями) їхньої зміни щодо інших (незалежних) змінних величин, тобто знайти рівняння, у яких невідомі функції входять під знак похідної. Наприклад, рішеннями диференціального рівняння є функції де С-довільна постійна, причому інших рішень це рівняння не має. Тому що вона в кожній своїй крапці (х, у) стосується деякої лінії [значок Із указує те значення параметра С, при якому рівняння цієї лінії виходить із загального рівняння (2)], те координати її крапок задовольняють рівнянню F(x, в, С(х, у)) =0, де тепер Із уже не постійно, але в кожній крапці лінії L приймає свій значення (саме рівне тому С, що відповідає лінії ). Знайдемо тоді з рівняння (3) значення у" для задовольняючому цьому рівнянню функції у від х. диференціюємо для цього рівняння (3) по х, уважаючи у функцією від х. Щоб обумовлені з обох рівнянь значення у" (визначити у" із цих рівнянь можна, якщо ) були однакові (тобто щоб у цій крапці лінія (2) і лінія (3) мали загальну дотичну), необхідно, щоб було .диференціальне рівняння крива Серед гладких кривих, що починаються в крапці (а, А)= (0, 0) і кінчаються на прямій x = b > 0, знайти криву найшвидшого спуска. Час спуска Т(у) на кривій Y=y(x) визначається інтеграломСеред гладких кривих Y = y(x), що починаються в крапці (а, А) і кінчаються на кривій L з рівнянням Y= Ф(x), знайти криву найменшої довжини, тобто знайти відстань від (а, А) до кривій L. Довжина s(y) кривій Отже, шукана пряма Y = y(x) повинна перетинати криву L ортогональне.Розглянемо крапки А и В на поверхні, зображеної на малюнку. Серед всіх кривих, які ми можемо провести на цій поверхні із крапки А в крапку В, існує одна найкоротша. Рівняння проекції АВ" разом з рівнянням поверхні цілком визначають геодезичну лінією. Тоді, якщо х и в одержать прирости dx і dy, те z одержить приріст: Отже, для елемента довжини дуги ds маємо: Припустимо, що крапки А и В зєднані довільній кривій, проекція якої на площину ху є в = в(х).Визначити лінію найменшої довжини, що зєднує крапки (a, і (b, по поверхні G(x, y, z) = 0. Довжина просторової кривої в = в(х), z = z(x), визначається інтегралом s(y, z)= .Серед кривих y, що зєднують крапки (a, A) і (b, B), де A, B>0, і які мають задану довжину l, > ,знайти таку, щоб криволінійна трапеція, обмежена зверху цій кривій, мала найбільшу площу. Інакше кажучи, знайти максимум функціонала s(y)= при граничних умовах y(a)=A, y(b)=B і ізопериметричного звязку Функціонал є спеціальним, тому що не містить x явно, тому варіаційне рівняння Ейлера для цього функціонала має перший інтеграл або y-.Потрібно знайти форму, що прийме ця нитка під дією сили ваги. Нехай крива на малюнку зображує цю форму, і розглянемо який-небудь елемент довжини ds . Одне з основних пропозицій механіки полягає в тому, що цей елемент повинен бути в рівновазі під дією сил, що діють на нього. Тоді, якщо три сили розкладені на їх х-х-і y-компоненти, ми одержимо відповідно: Якщо елемент нитки повинен бути в рівновазі, під дією цих сил необхідно, щоб сума компонентів X і сума компонент У нулями, тобто: Ділячи по членне ці рівняння, маємо: Перше з рівнянь (1) затверджує, що горизонтальний компонент натягу та сама у двох кінцях елемента ds.Якщо дві крапки А и В (див. малюнок) звязані кривій y = f(x) і вся ця фігура обертається біля осі x, то крива утворить при цьому поверхня обертання. Завдання полягає в тім, щоб знайти рівняння цієї кривої. Тому що задача схожа на ті задачі аналізу, де доводиться відшукувати крапки максимуму або мінімуму кривій, то корисно нагадати міркування, за допомогою якого такі задачі вирішуються. 2) Якщо будемо міняти форму кривій довільно, те площа поверхні обертання повинна при цьому збільшуватися. 3) Можна показати, що якщо деяке диференціальне вираження не дорівнює нулю, то площа, описана кривій f(х) ?(х), буде більше площі, описаної кривій f(x), а площа, описана кривій f(х) ?(x), буде менше цієї останньою.Задача Дидони складається, таким чином, у наступному: задана крива (беріг моря), відома ціна землі (що змінюється зі зміною місця); як провести криву заданої довжини, щоб вартість площі між цими двома кривими була максимальною? Щоб ілюструвати метод вивчення задач, вирішимо задачу Дидони для найпростішого випадку, саме припустимо, що земля має всюди однакову цінність і що беріг моря прямолінійний. Отже, ця крива задовольняє двом умовам, викладеним на її довжину й на площу, що вона обмежує. Вибираючи берег моря за вісь х і поміщаючи один з кінців мотузки в початок координат, ми можемо записати ці умови у вигляді рівностей: Перший інтеграл має задане значення, другий повинен бути зроблений найбільшим, шляхом вибору відповідної функції f(x). Нехай шукана крива, що задовольняє поставленим вимогам, має рівняння в=f(x), довжина її дорівнює , а площа, що обмежується нею, дорівнює .Дана курсова робота складається із введення, основної частини, висновку й списку використаної літератури.
План
Зміст
Введення
1. Огинаючі лінії
2. Бархистохрона
3. Задача про брахистохрону з фіксованою абсцисою правого кінця
4. Задача про відстань до кривої
5. Геодезичні лінії на кривої поверхні
6. Задача про геодезичну лінію
7. Задача про криволінійну трапецію з найбільшою площею
8. Крива прогину гнучкої нерозтяжної нитки
9. Поверхня обертання найменшої площі
10. Задача Дидони
Висновок
Список літератури
Вывод
Дана курсова робота складається із введення, основної частини, висновку й списку використаної літератури.
Метою курсової роботи був розгляд геометричних задач і приведення їх до диференціальних рівнянь.
У ході виконання даної курсової роботи ми прийшли до того, що частина диференціальних рівнянь розвязні явно, а частина рівнянь явно нерозвязні.
Таким чином, з вищесказаного можна зробити висновок, що ціль курсової роботи досягнута.
