Пуассоновская модель - Дипломная работа

Они измеряются и анализируются в терминах их вероятностных и статистических свойств, главным выразителем которых является функция распределения. Хотя число потенциально возможных моделей распределения чрезвычайно велико, практически относительно небольшое их число занимает особое положение - либо потому, что они обладают хорошими математическими свойствами, либо потому, что достаточно адекватно описывают соответствующую область действительности, либо в силу обеих этих причин. Замечательным фактом при этом является то, что существует несколько распределений большой общности, встречающихся в самых разнообразных задачах теории вероятностей и математической статистики и значение которых для приложений трудно переоценить. Следует отметить, что за последние десятилетия в этой области получено большое число новых результатов, существенно дополняющих и развивающих в самых различных направлениях классические достижения, поэтому их систематизация и единообразное изложение представляется актуальным и полезным для их практического использования. В работе с единых позиций и с использованием единых терминологии и символики детально излагаются известные к настоящему времени вероятностные и статистические свойства распределения Пуассона, и ее целью является удовлетворение потребности в быстром получении соответствующей информации, которая обычно разбросана по многочисленным и часто трудно доступным источникам.В данном пособии мы ограничиваемся рассмотрением случайных величин лишь дискретного типа, когда состоит из конечного или счетного числа точек (без точек накопления); в этом случае распределение случайной величины Х, обозначаемое символом (Х) (-law (закон)), задается вероятностями отдельных ее реализаций Часто при этом предполагается, что плотность задана с точностью до значений тех или иных параметров, от которых зависит функция , - в таких случаях говорят о параметрических статистических моделях. Вместе с тем в статистике используется и специфическая терминология: наблюдаемая в эксперименте случайная величина Х называется выборкой (синоним термина статистические данные), а множество ее возможных реализаций ={х} - выборочным пространством. В этом случае плотность выборки Х=(Х1,…,Xn) имеет вид , т. е. полностью определяется плотностью наблюдаемой случайной величиной , и говорят, что Х=(Х1,…, Xn) есть случайная выборка объема n из распределения (). Если для случайной величиной существует абсолютный момент порядка , то существуют и все обычные моменты , а также центральные моменты , при ; при этом первый момент называется математическим ожиданием или средним значением случайной величины , а второй центральный момент - ее дисперсией.Случайная величина (с.в.) X имеет распределение Пуассона с параметром (0), что кратко обозначается так: L(X) = , если ее плотность имеет вид: Эта модель обычно описывает схему редких событий: при некоторых предположениях о характере процесса появления случайных событий число событий, происшедших за фиксированный промежуток времени или в фиксированной области пространства, часто подчиняется пуассоновскому распределению. Помимо этого, распределение Пуассона дает хорошую аппроксимацию (при соответствующих условиях) для ряда других дискретных распределений, в частности, для биномиального, отрицательного биномиального, гипергеометрического и Маркова-Пойа распределений. 2) Пусть с. в. имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы ( - целое), плотность которого есть . Распределение же их разности называется симметризованным пуассоновским распределением и обозначается символом Это распределение симметрично, имеет среднее 0, дисперсию и оно является предельным (при условии ) для симметризованного биномиального распределения . Более того, если - независимые случайные величины, имеющие пуассоновские распределения с соответствующими параметрами, то для распределения их разности имеет место аналогичное представление: , где теперь с. в. имеет параметр нецентральности .Распределение выводится, как предел последовательности биномиальных распределений при N, стремящемся к бесконечности, р стремящемся к нулю. Однако данные, собранные Борткевичем, вполне удовлетворительно описывались пуассоновским распределением и широко цитировались, как пример применимости данного распределения. Борткевич рассчитал таблицы значений вероятностей пуассоновского распределения, а также получил многие свойства данного распределения, такие как: разностные и дифференциальные уравнения для вероятностей, вывел ряд таких моментов, как предел моментов биномиального распределения. Показано, что для распределения с семиинвариантами «наблюдаемые значения равны 0, а, 2а, 3а ..., и относительная частота значения ra равна автор считает, что такое распределение, «возможно, предпочтительнее биномиального, как представитель некоторого класса асимметричных законов ошибок». В статье (Charlier, 1905b) Шарлье получил это же распределение, решив систему дифференциально-разностных уравнений где вероятности являются функциями времени.

Оглавление

Аннотация

1. Основные понятия и теоретические сведения

2. Определение и вероятностные свойства

3. Историческая справка

4. Моменты

5. Асимптотические результаты и приближения

6. Моделирование

7. Статистические выводы

8. Характеризации

9. Распределение пуассоновски остановленных сумм

Заключение

Литература

Аннотация