Процес узагальнення Стілтьєсом інтеграла Рімана - Курсовая работа

Варто розкрити будь-яку книгу, що відноситься до точних наук, як зустрінеться знак інтеграла і пропозиції, включаючи слово «інтеграл». Більш того, останнім часом увійшли до ужитку такі терміни, як, наприклад, «інтегральна схема», «економічна інтеграція», які прямого відношення до інтеграла не мають, але смислове навантаження зберігають і знаходять широке розповсюдження в літературі і розмовній мові. І в цьому немає ніякого перебільшення, хоча відкриття інтегрального числення, час, коли вперше било вимовлено слово «інтеграл», відокремлюють від робіт Архімеда величезний часовий інтервал в 2000 років. інтеграл Стілтьєс Ріман властивість Інтеграл Стілтьєса має вигляд: і у випадку g(x)=x інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана. Розглянути інтеграл Стілтьєса та його відмінності від інтеграла Рімана.Нехай функцію f(x) означено на сегменті [a,b]. Поділимо сегмент точками а=х1<х2<…xn<xn 1=b на n частин; цей поділ позначимо ?. Ця сума називається інтегральною сумою, або Рімановою сумою, функції f(x) відносно поділу ?. Звичайне означення інтеграла Рімана функції f(x) на сегменті [a,b] таке: при умові, що ця границя існує і не залежить ні від вибору поділів ?, ні від вибору точок ?k.Нехай зафіксовано деякий поділ ? сегмента [a,b]. Позначимо: Mk-mk=?k і розглянемо вирази: де точна нижня (верхня) межа множини інтегральних сум для даного поділу ? при всіх можливих виборах точок ?k?[xk, xk 1]. Суми S? і ? називаються відповідно нижньою і верхньою сумами Дарбу функції f(x) відносно поділу ?. На відміну від інтегральних сум суми Дарбу S? і ? однозначно визначаються для кожного поділу ?. Якщо до точок даного поділу приєднати ще одну точку, то нижня сума Дарбу не зменшиться, а верхня не збільшиться.Теорема 1.2 Для того щоб функція f(x), визначена на відрізку [a,b], була (за Ріманом) на цьому відрізку необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена на відрізку [a,b] і щоб її нижній інтеграл Дарбу на відрізку [a,b] дорівнював її верхньому інтегралу Дарбу на цьому проміжку. Цю теорему можна сформулювати і по іншому: Теорема 1.3 Для того щоб функція f(x), визначена на відрізку [a,b], була інтегровною (за Ріманом) на цьому відрізку необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена на цьому відрізку і щоб де - коливання функції f(x) на відрізку [xk, xk 1] (k=0,1,2…n-1). Розглянемо основні класи R - інтегровних функцій і подамо умову R - інтегрованості. Теорема 1.5 Якщо обмежена на сегменті [a,b] функція f(x) має на цьому сегменті скінченну кількість точок розриву, то вона інтегровна на [a,b]. Нехай, наприклад, функція f(x) не спадна на сегменті [a,b] (випадок не зростаючої функції можна розглянути аналогічно).Якщо f(x) - інтегровна функція на відрізку [a; b] і с-стала, то на цьому відрізку інтегровна функція cf(x), причому тобто сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла. Якщо f(x) і (x) - інтегровні функції на відрізку [a; b], то на цьому відрізку інтегровні функції f(x) (x), причому 5. Якщо f(x) - інтегровна функція на відрізку [a; b], то на цьому відрізку інтегровна і функція , причому Оскільки функція f(x) інтегровна на відрізку [a; b], то вона на цьому відрізку обмежена: . Теорема 1.10 Якщо функція f(x) інтегровна на відрізку [a; b] і а то ця функція інтегровна і на відрізках [a; c] i [c; d], причому Якщо функція f(x)інтегровна на відрізках [a; c] i [c; d], то ця функція інтегровна на відрізку [a; b], причому правильна рівність (1.3).Інтеграл Стілтьєса являється безпосереднім узагальненням звичайного визначеного інтеграла Рімана. Вибравши в кожній із частин [хі, хі 1] (і=0,1,…,n-1) точку ?і обчислимо значення (?і) функції f(x) і помножимо її на відповідний проміжку [хі, хі 1] приріст функції g(x) Кінцева границя суми Стілтьєса при прямуванні ?=max?xi до нуля називається інтегралом Стілтьєса функції f(x) по функції g(x) і позначається символом: Для того щоб очевидніше підкреслити, що інтеграл розглядається в розумінні Стілтьєса використовують позначення: Границя тут розуміється в тому ж розумінні, що і у випадку звичайного визначеного інтеграла. Точніше говорячи, число І називається інтегралом Стілтьєса, якщо для любого числа ?>0 існує таке число ?>0, що якщо проміжок [a,b] розбитий на частини так, що ?>?, то виконується нерівність як би ми не вибирали точки ?і на відповідних проміжках. При існуванні інтеграла (2.3) говорять також, що функція f(x) на проміжку [a,b] інтегровна по функції g(x).За допомогою сум Дарбу-Стілтьєса легко установлюється для розглянутого випадку основний критерій існування інтеграла Стілтьєса: Теорема 2.1 Для існування інтеграла Стілтьєса необхідно і достатньо, щоб було або якщо під розуміти коливання Mi - mi функції f(x) в і-му проміжку [хі, хі 1]. Теорема 2.2 Якщо функція f(x) неперервна, а функція g(x) має обмежену зміну , то інтеграл Стілтьєса існує. По будь-якому ?>0, зважаючи на неперервність функції f(x), знайдеться таке ?>0, що в будь-якому проміжку з довжиною, меншою ?, зміна f(x) буде меншою ніж Нехай тепер проміжок [a,b] випадково розбитий на частини

Зміст

Вступ

Розділ 1. Інтеграл Рімана

1.1 Поняття інтеграла Рімана та необхідна умова його існування

1.2 Суми Дарбу та їх властивості

1.3 Критерій інтегровності функції за Ріманом. Класи інтегровних функцій

1.4 Властивості інтеграла Рімана

Розділ 2. Узагальнення поняття інтеграла. Інтеграл Стілтьєса

2.1 Поняття інтеграла Стілтьєса. Суми Дарбу-Стілтьєса та їх властивості

2.2 Критерій інтегровності. Класи інтегровних функцій

2.3 Властивості інтеграла Стілтьєса

2.4 Граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса

Висновки

Список використаних джерел