Процедуры для проверки многих гипотез о симметрии знаков доходностей на рынке - Дипломная работа

В частности, нормальное распределение используется для моделирования распределения доходностей акций фондового рынка. Поэтому в качестве модели распределения доходностей используются и другие распределения, такие как многомерное распределение Стьюдента, многомерное распределение Коши [1]. Многие из этих распределений относятся к классу распределений, плотности которых постоянны на многомерных элипсоидах. Этот класс включает в себя, в частности, многомерное нормальное распределение, многомерное распределение Стьюдента, многомерное распределение Коши, многомерное распределение Лапласа, а так же и некоторые другие устойчивые распределения. Этот подход предполагает визуализацию фондового рынка с помощью представления характеристик акций (доходность, объем продаж, ликвидность и т.д.) как вершин, соединенных ребрами, веса которых пропорциональны некоторой мере связи между поведением характеристик акций.Пусть число анализируемых акций фондового рынка и число дней наблюдений над каждой из акций Для анализа данных используются логарифмическая доходность финансовых инструментов. Используя доходности акции, зададим следующие вероятности попарных совпадений знаков их доходностей: - в некоторый момент времени две рассматриваемые акции имеют положительные доходности. в некоторый момент времени первая рассматриваемая акция имеет отрицательную доходноть, а другая акция имеет положительную доходность.Элептические распределения включают в себя, в частности, многомерное нормальное распределение, которое в последнее время используется как стандартная модель для статистического анализа многомерных данных. Этот класс распределений может быть использован для моделирования вектора доходностей акций. Класс элептических распределений задается следующей функцией[8]: , где положительно определенная матрица, а , и Данный класс, в часности, включает в себя многомерное нормальное распределение, которое имеет плотностьДля совместной проверки гипотез и следует использовать процедуру Холма[9]. Алгоритм включает в себя максимум этапов, в каждом из которых одна из индивидуальных гипотез отклоняется или все оставшиеся гипотезы принимаются. Процедура выглядит следующим образом: · Этап . Если Тогда отвергаем гипотезу , тест продолжается для оставшихся гипотез на уровне значимости .Пусть гипотезы заданы следующим образом: где зафиксированно. Тогда оптимальным несмещенным тестом для заданных гипотез будет где и константы находятся из слудующих уравнений где функция является плотностью условного распределения распределения статистики , которая является представителем функций экспонециального семейства и является уровнем значимости теста.Задача работы состоит в одновременной проверке гипотез и . Полученные статистики обозначают частоту совпадения знаков для каждой пары и на всем рассматриваемом временном периоде. Тогда имеет биномиальное распределение. Это означает, что равномерно наиболее мощный критерий в классе несмещенных тестов для проверки одной из индивидуальных гипотез в (5) будет иметь следующий вид: где и определяются с помощью следующих уравнений Таким образом, определяется критическая область и область принятия для каждой из гипотез: Для того чтобы найти и в (6) при заданном уровне значимости , определим условное распределение.Для построения теста для проверки многих гипотез о симметрии знаков доходностей на рынке используем процедуру Холма, описанную ранее в Главе 3. Процедура основана на последовательной проверке р-значений индивидуальных гипотез, образующих общую гипотезу, с константой, зависящей от параметра , вероятности хотя бы одного отвержения верной гипотезы. Каждая пара(нулевая и альтернативная гипотезы) состоит из пар и индивидуальных гипотез, для которых , известны. Процедура Холма для проверки индивидуальных гипотез о равенстве вероятностей совпадения и несовпадения знаков зависимых случайных величин, выглядит следующим образом: · Этап 0. Упорядочим в порядке возрастания р-значения рассматриваемых индивидуальных гипотез и пусть заданы гипотезы .Под данными подразумевается цены акций фондового рынка за несколько дней. Рассматривался весь анализируемый период целиком, далее период делился на более мелкие подпериоды последовательно, например, по 500 дней 2 периода, по 200 дней 5 периодов, и по 100 дней 10 периодов соответствено.Граф акций, образующих отвергнутые гипотезы, для дней. Граф акций, образующих отвергнутые гипотезы, для первых дней. Граф акций, образующих отвергнутые гипотезы, для второго периода из дней. Вершинами графа являются акции, а под связью (проведенное ребро в графе) подразумевается отвержение соответствующей индивидуальной гипотезы для каждой пары акций. Для оставшихся 3 периодов, где наблюдается отвержение гипотез, для принятия всех гипотез о симметрии доходностей на фондовом рынке достаточно лишь удаления акции на Рис.Для анализа Российского рынка использовались данные из акций за года с по . После применении процедуры для обеих пар гипотез при были получены следующие результаты. Гипотеза о симметрии разн

Оглавление

Введение

Глава 1. Постановка задачи работы

Глава 2. Класс элептических распределений

Глава 3. Процедура Холма

Глава 4. Несмещенность и тест структуры Неймана

Глава 5. Построение индивидуальных гипотез и индивидуального теста

Глава 6. Построение теста для одновременной проверки многих гипотез о симметрии знаков доходностей на рынке

Глава 7. Экспериментальные результаты. Анализ полученных результатов

7.1 Американский фондовый рынок

7.2 Российский фондовый рынок

Заключение

Список использованной литературы

Приложения

Многомерное нормальное распределение долгое время служит в качестве стандартной модели для статистического анализа многомерных наблюдений. В частности, нормальное распределение используется для моделирования распределения доходностей акций фондового рынка. Вместе с тем, реальные наблюдения показывают, что "хвосты" распределения доходностей являются более тяжелыми, чем это предусмотрено гаусовской моделью. Поэтому в качестве модели распределения доходностей используются и другие распределения, такие как многомерное распределение Стьюдента, многомерное распределение Коши [1].

Многие из этих распределений относятся к классу распределений, плотности которых постоянны на многомерных элипсоидах. Этот класс включает в себя, в частности, многомерное нормальное распределение, многомерное распределение Стьюдента, многомерное распределение Коши, многомерное распределение Лапласа, а так же и некоторые другие устойчивые распределения.

С другой стороны в [2] было показано, что распределение доходностей акций фондового рынка, вообще говоря, не относится к классу элептических. Однако, это не исключает возможность выполнения некоторых свойств данного класса распределений, полезных при построении соответствующих статистических процедур. Такие процедуры зависят от способа анализа фондового рынка как сложной многомерной системы. Одно из таких направлений анализа связано с использованием сетевых моделей. Этот подход предполагает визуализацию фондового рынка с помощью представления характеристик акций (доходность, объем продаж, ликвидность и т.д.) как вершин, соединенных ребрами, веса которых пропорциональны некоторой мере связи между поведением характеристик акций. Обычно в качестве меры связи между вершинами графа используется коэффициент корреляции Пирсона [3], [4], [5], [6]. Как правило такие полные взвешенные графы получаются очень большими, что затрудняет их анализ. Общепринятым подходом является идентификация некоторых сетевых структур, которые содержат максимально возможную информацию о всей сети. Одной из таких структур является граф рынка, или отсеченный граф, предложенный в [4]. Схема построения графа рынка сводится к построению простого подграфа полного взвешенного графа, в котором оставляются только те ребра, вес которых больше заданного порога.

Реально построение графа рынка осуществляется на основе наблюдений. В настоящей работе предполагается, что эти наблюдения являются выборкой из распределения случайного вектора, который описывает вершины графа. Поэтому такие процедуры должны рассматриваться как статистические процедуры выбора одного из многих решений. Известно, что статистические процедуры, основанные на коэффициенте корреляции Пирсона, обладают хорошими свойствами для нормального распределения. Учитывая неадекватность этой модели реальным данным, в последнее время появились работы, в которых используются другие меры близости. В частности, в [7] используются вероятность совпадения знаков. На основе этой меры можно построить оптимальную статистическую процедуру идентификации графа рынка в знаковой сети. Достаточным условием оптимальности этой процедуры является одновременное выполнение следующих свойств.

Во-первых, условие равенства вероятностей попарно положительных и отрицательных доходностей акций (попарно положительные доходности - в некоторый момент времени две рассматриваемые акции имеют положительные доходности, попарно отрицательные доходности - в некоторый момент времени две рассматриваемые акции имеют отрицательные доходности).

Во-вторых, равенства вероятностей попарно разнознаковых доходностей (вероятность, что в некоторый момент времени одна из акций имела положительную доходность, а другая отрицательную, и наоборот).

Основной целью работы является построение процедуры для совместной проверки индивидуальных гипотез о равенстве вероятностей совпадения и несовпадения знаков случайных величин и проверка адекватности достаточного условия оптимальности процедуры идентификации графа рынка в знаковой сети экспериментальным данным. Следует подчеркнуть, что в работе не проверяется гипотеза согласия распределения из класса элептических экспериментальным данным, а проверяется лишь одно из свойств этого распределения. Для проверки этого свойства используется современные методы одновременной проверки многих статистических гипотез.

В данной работе будут решены следующие задачи: 1) Построение равномерно наиболее мощного критерия в классе несмещенных для проверки индивидуальных гипотез о симметрии знаков доходностей на фондовом рынке.

2) Построение процедуры для проверки многих гипотез о симметрии знаков доходностей на рынке.

3) Применение построенной процедуры для совместной проверки индивидуальных гипотез о равенстве вероятностей совпадения и несовпадения знаков доходностей по экспериментальным данным.

4) Анализ полученных результатов.