Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение - Реферат

В четырехмерном римановом пространстве общее выражение для интервала между двумя событиями выражается производными следующим образом: (1.1.1) где - свободные индексы (а не обозначения степеней), и, кроме того, принято обычное правило суммирования (повторяющийся свободный индекс предполагает суммирование по всем его значениям 0, 1,2, 3). В соответствии с общей теорией относительности эта метрика зависит от распределения материи; значения удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям в частных производных, известным как уравнения Эйнштейна. Последовательность координат движущейся частицы описывает ее «мировую линию», в частности, мировая линия частицы, свободно перемещающейся в гравитационном поле, называется геодезической. Предположение о статичности поля подразумевает, что значения не являются функциями t, а радиальный масштаб может быть определен как произвольная функция радиуса. Аткинсон [8] показал, что релятивистские свойства сферически симметричного поля можно строго описать в рамках трехмерного евклидова пространства, поскольку предположение о сферической симметрии подразумевает неизменность вида метрики при евклидовых преобразованиях пространственных координат.Уравнение (1.1.5) показывает, что на нулевой геодезической в бесконечном удалении от начала т. е. координатная скорость света в «пустом» пространстве равна , Однако в нашем евклидовом пространстве координатная скорость света не равна .Дифференцируя это выражение и учитывая, что получаем откуда следует, что и Из формул видно, что выражение (1.1.2) для интервала преобразуется к виду Выражение - векторная форма метрики в стандартных координатах Шварцшильда; соответствующую скалярную форму в сферических координатах, как строгое решение уравнений Эйнштейна, впервые получил в 1916 г.Рассмотрим систему координат, определяемую формулойПриложение В), что уравнения, определяющие геодезические, выводятся из обычных уравнений Эйлера - Лагранжа, которые в координатах Шварцшильда имеют вид где - лагранжиан, а точка сверху обозначает дифференцирование по Уравнение (1.2.1) дает непосредственно Формула (1.2.2) приводит к следующему выражению, вывод которого содержится в Приложении В: Умножая (1.2.2) векторно на , получаем вследствие того что Таким образом, где Н - постоянная, а h - постоянный единичный вектор.Умножение уравнения (1.2.9) скалярно на с последующим интегрированием дает где - постоянная интегрирования.Если определено интегрированием формулы (1.2.9), то можно найти и, следовательно, получить после интегрирования выражения (1.2.15) как функциюПринимая в уравнении (1.2.9) получим известное выражение для ускорения под действием закона всемирного тяготения Ньютона В этом случае в соответствии с (1.1.13) а из Таким образом, уравнение (1.2.4) дает. а координатное и собственное время оказывается идентичным. Подставив (1.3.8) в (1.2.9) и зная, что - произвольная функция можно получить уравнение геодезической в любых координатах. Очевидно, что даже и при закон обратных квадратов строго выводится только в случае постоянства к, что вновь приводит нас к стандартным координатам Шварцшильда с простой лишь сменой шкалы. Поскольку - ортогональные единичные векторы в плоскости орбиты, а - единичный вектор вдоль , можно ввести угол такой, что (1.3.6) и, следовательно, Отсюда можно заключить, что (1.3.5) - уравнение конического сечения, отнесенное к фокусу как началу, с эксцентриситетом е и параметром орбиты Единичный вектор направлен вдоль большой полуоси (рис.

Содержание

1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА

1.1 Скорость света

1.2 Шварцшильдовы координаты

1.3 Изотропные координаты

2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

2.1 Уравнение энергии

2.2 Шкалы времени

3. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ

1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА

1» Абалакин В, К Основы эфемеридной астрономии,-М. : Наука, 1979.- 448 с, 2, Бакулин Л, И., Блинов Н. С. Служба точного времени, 2-е изд. М.» Наука 1977.-352 с. Бакулин П. И. Фундаментальные каталоги звезд, 2-е изд. М. : Наука, 1980 - 336 с.

Блажко С. Н, Курс практической астрономии» 4-е изд.М. : Наука, 1979.- 432 с.

Бугославская Е. Я- Фотографическая астрометрия,- М. : Гостехиздат, 1947 - 296 с.

8. Губанов В. С, Финкельштейн А. М., Фридман П. А. Введение в радиоастрометрию.- М. : Наука, 1983.- 280 с.

Гуляев А. П., Хоммик Л. М. Дифференциальные каталоги звезд.- М. : Наука 1983.-136 с.

Загребин Д. В, Введение в астрометрию.- М. : Наука, 1966.- 280 с.