Постановка задачи и ее формализация. Поиск значений интерполяционного многочлена в точках x1 и x2. Поиск минимума функции F(x) на отрезке [a;b]. Проверка условий сходимости методов. Тестирование программных модулей. Детализированная схема алгоритма.
Требуется найти L(x1), L(x2) - значения интерполяционного многочлена, построенного для таблично заданной функции f(x) в точках x1,x2 Здесь решается задача аппроксимации, которая состоит в замене некоторой функции у = f(х) другой функцией g(х,а0,а1,...,an) таким образом, чтобы отклонение g(х,а0,а1,...,an) от f(x) удовлетворяло в некоторой области (на множестве X) определенному условию. Задача интерполяции может быть решена множеством методов, среди которых: 1) интерполяционный многочлен Лагранжа интерполяционные формулы Ньютона Выберем для решения задачи интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа, так как его построение просто в алгоритмизации, не требует вычисления конечных разностей функции, , может быть умещено в одну небольшую процедуру - функцию. Кроме того, метод Лагранжа работает и для неравноотстоящих интерполяционных узлов, к тому же не имеет различий, если точки x1 и x2 для поиска значений L(x1), L(x2) лежат в начале или в конце отрезка, где таблично задана функция. Идея метода дихотомии состоит в проведении на каждой итерации двух отсчетов (вычислений значений функции), отстоящих от середины отрезке неопределенности [а;b] на величину de[0;2E] и сравнения значения исследуемой функции в двух точках х(n-1) и x(n-1). определяемых рекуррентными формулами: Если , то Иначе N = 1,2,...- Процедура поиска минимума методом дихотомии использует большее количество отсчетов функции для локализации точки минимума на отрезке заданной длины.
Вывод
1. Обоснованы и выбраны численные методы: - интерполяции таблично заданной функции с помощью полинома Лагранжа - одномерной оптимизации по методу дихотомии
2. Разработаны, протестированы модули, реализующие следующие методы: - поиск значений интерполяционного многочлена Лагранжа в требуемых точках (x1, x2) - поиск минимума функции F(x) с помощью метода дихотомии с требуемой точностью
3. Программа модульная, содержит следующие модули: - основной модуль, принимающий исходные данные, передающий их на обработку и выводящий конечный и промежуточный результаты - модуль поиска значений интерполяционного многочлена в точках x1 и x2 - модуль, задающий F(x) с параметрами LX1, LX2, найденными модулем интерполирования - модуль поиска минимума функции F(x) на отрезке [a;b] методом дихотомии
4. Получены следующие результаты: Полином Лагранжа L(x1)=1.853346, L(x2)=1.823337
Искомый минимум функции F(x) найден с точностью E=0.0001, xmin=1.229506
F(xmin)=-5.802835
5. Полученные результаты были проверены в MATHCAD: Полученные в ходе работы программы результаты, очень хорошо согласуются с результатами, полученными в MATHCAD, требуемая точность E=0.0001 соблюдалась, если научно подойти к выбору d в методе дихотомии.
Список литературы
1. Гловацкая А.П., Загвоздкина А.В., Кравченко О.М., Семенова Т.И., Шакин В.Н: Практикум Численные методы и оптимизация по дисциплине «Информатика»
Москва, МТУСИ, 2004г.
2. А.П.Гловацкая: Конспект лекций «Информатика. Вычислительная математика» Москва, МТУСИ, 2006г.
3. Семенова Т.И, Шакин В.Н.: Практикум Математический пакет MATHCAD в дисциплине «Информатика», Москва, МТУСИ, 2006г.
4. А.В. Загвоздкина: Конспект лекций за 1 семестр 2007-2008 учебного года
Размещено на
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
