Стандартний спосіб розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку чисельними однокроковими методами. Геометричний зміст методу Ейлера. Побудова графіку інтегральної кривої. Особливість оцінки похибки за методом Рунге.
Аннотация к работе
Воно дає змогу знайти наближений розвязок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу (наприклад, ряду Тейлора), або у вигляді деякої таблиці значень. Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику з центром у точці (х0,у0) і задовольняє в ньому умову Лівшиця по змінній у, тобто існує число K>0, яке не залежить від х і у, таке, що (1.3) для будь-яких точок (х1,у1) і (х2,у2) , то існує єдина диференційована функція , яка є розвязком диференціального рівняння (1.1). Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розвязування задачі Коші (1.1)-(1.2), в яких, щоб знайти наближений розвязок у точці хк 1=xk h, досить знайти її розвязок в точці хк. Якщо наближений розвязок задачі (1.1)-(1.2) в точці хк відомий, то, проінтегрувавши рівняння (1.1) в межах від хк до хк 1, знайдемо його розвязок в точці хк 1 за формулою: (1.5) Оскільки дотична до графіка функція у(х) в точці (xk,yk) матиме вигляд: або Звідси для ординати точки ук 1 перетину цієї дотичної з прямою х=хк 1 дістанем формулу (1.7), а це означає, що на кожному з відрізків [xk,xk 1], (k=0, 1, 2, ..., n-1 ) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (xk,yk).Стандартний спосіб розвязання задачі Коші чисельними однокроковими методами - це зведення диференціальних рівнянь n-го порядку до систем з n рівнянь 1-го порядку і подальшого розвязання цієї системи стандартними однокроковими методами: Для рівняння введемо заміну тоді для даного рівняння можна записати еквівалентну систему із двох рівнянь: Запишемо для кожного з цих рівнянь ітераційне рівняння: для модифікованого методу :Ейлера: для виправленого методу Ейлера: Таким чином знаходиться масив точок функції ymn з різними кроками тобто n1=(b-a)/0,1=10 1 раз з кроком 0,1 і n2=(b-a)/0,05 раз з кроком 0,05. Загальний вигляд похибки для цих двох методів , де с визначається саме за методом Рунге , звідки с на кожному кроці обчислень знаходиться за формулою: .Результатом розвязання задачі Коші являється функція. В даному випадку отримати цю функцію в аналітичному вигляді обчислювальні однокрокові методи не дозволяють.В даній курсовій роботі я ознайомився з однокроковими методами розвязання звичайних диференціальних рівнянь.
План
Зміст
1. Короткі теоретичні відомості
2. Розробка алгоритму розвязання задачі
3. Результати обчислень і оцінка похибки
Висновки
Література
Додаток
1. Короткі теоретичні відомості
Вывод
В даній курсовій роботі я ознайомився з однокроковими методами розвязання звичайних диференціальних рівнянь. Завдяки їй я остаточно розібрався застосовуванням цих методів до розвязання диференціальних рівнянь вищих порядків на прикладі рівняння другого порядку.
Список литературы
1. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП «Раско», 1991. - 272 с.
2. Бортків А.Б., Гринчишин Я.Т. Turbo Pascal: Алгоритми і програми: чисельні методи в фізиці і математиці. Навчальний посібник. - К.: Вища школа, 1992. - 247 с.
3. Квєтний Р.Н. Методи компютерних обчислень. Навчальний посібник. - Вінниця: ВДТУ, 2001 - 148 с.