Стандартний спосіб розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку чисельними однокроковими методами. Геометричний зміст методу Ейлера. Побудова графіку інтегральної кривої. Особливість оцінки похибки за методом Рунге.
При низкой оригинальности работы "Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Воно дає змогу знайти наближений розвязок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу (наприклад, ряду Тейлора), або у вигляді деякої таблиці значень. Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику з центром у точці (х0,у0) і задовольняє в ньому умову Лівшиця по змінній у, тобто існує число K>0, яке не залежить від х і у, таке, що (1.3) для будь-яких точок (х1,у1) і (х2,у2) , то існує єдина диференційована функція , яка є розвязком диференціального рівняння (1.1). Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розвязування задачі Коші (1.1)-(1.2), в яких, щоб знайти наближений розвязок у точці хк 1=xk h, досить знайти її розвязок в точці хк. Якщо наближений розвязок задачі (1.1)-(1.2) в точці хк відомий, то, проінтегрувавши рівняння (1.1) в межах від хк до хк 1, знайдемо його розвязок в точці хк 1 за формулою: (1.5) Оскільки дотична до графіка функція у(х) в точці (xk,yk) матиме вигляд: або Звідси для ординати точки ук 1 перетину цієї дотичної з прямою х=хк 1 дістанем формулу (1.7), а це означає, що на кожному з відрізків [xk,xk 1], (k=0, 1, 2, ..., n-1 ) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (xk,yk).Стандартний спосіб розвязання задачі Коші чисельними однокроковими методами - це зведення диференціальних рівнянь n-го порядку до систем з n рівнянь 1-го порядку і подальшого розвязання цієї системи стандартними однокроковими методами: Для рівняння введемо заміну тоді для даного рівняння можна записати еквівалентну систему із двох рівнянь: Запишемо для кожного з цих рівнянь ітераційне рівняння: для модифікованого методу :Ейлера: для виправленого методу Ейлера: Таким чином знаходиться масив точок функції ymn з різними кроками тобто n1=(b-a)/0,1=10 1 раз з кроком 0,1 і n2=(b-a)/0,05 раз з кроком 0,05. Загальний вигляд похибки для цих двох методів , де с визначається саме за методом Рунге , звідки с на кожному кроці обчислень знаходиться за формулою: .Результатом розвязання задачі Коші являється функція. В даному випадку отримати цю функцію в аналітичному вигляді обчислювальні однокрокові методи не дозволяють.В даній курсовій роботі я ознайомився з однокроковими методами розвязання звичайних диференціальних рівнянь.
План
Зміст
1. Короткі теоретичні відомості
2. Розробка алгоритму розвязання задачі
3. Результати обчислень і оцінка похибки
Висновки
Література
Додаток
1. Короткі теоретичні відомості
Вывод
В даній курсовій роботі я ознайомився з однокроковими методами розвязання звичайних диференціальних рівнянь. Завдяки їй я остаточно розібрався застосовуванням цих методів до розвязання диференціальних рівнянь вищих порядків на прикладі рівняння другого порядку.
Список литературы
1. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП «Раско», 1991. - 272 с.
2. Бортків А.Б., Гринчишин Я.Т. Turbo Pascal: Алгоритми і програми: чисельні методи в фізиці і математиці. Навчальний посібник. - К.: Вища школа, 1992. - 247 с.
3. Квєтний Р.Н. Методи компютерних обчислень. Навчальний посібник. - Вінниця: ВДТУ, 2001 - 148 с.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
