Обґрунтування переваги чисельного диференціювання функції з використанням інтерполяційної формули Стірлінга по відношенню до формул Ньютона, Гауса та Бесселя. Розробка оптимального алгоритму обчислення другої похідної. Лістинг, опис і тестування програми.
При низкой оригинальности работы "Програма обчислення другої похідної за інтерполяційною формулою Стірлінга", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
При рішенні інженерно-технічних і інших прикладних завдань часто буває необхідно знайти похідну певного порядку від функції, заданої таблично. У цих випадках зазвичай використовують чисельне диференціювання. Тут існує безліч різних прийомів і способів. Задачі дослідження: · проаналізувати існуючі методи знаходження значення похідних для випадків рівновіддалених та нерівновіддалених значень аргументу, та обґрунтувати переваги використання інтерполяційного многочлена Стірлінга по відношенню до існуючих; · розробити програму розвязку чисельного диференціювання з використанням інтерполяційного многочлена Стірлінга та провести її тестування.При розвязуванні практичних задач часто потрібно знайти похідну вказаних порядків від функції , заданої таблично. Для виведення формул наближеного диференціювання замінюють дану функцію на потрібному відрізку інтерполяційної функцією (частіше всього поліномом), а потім покладають: (1) при . Якщо для інтерполяційної функції відома похибка то похибка похідної виражається формулою Дійсно близькість одна до одної ординат двох кривих і на відрізку ще не гарантує знаходження близько друг до другу їх похідних і , тобто малого розходження кутових коефіцієнтів дотичних до даних кривих при однакових значеннях аргументу (рис. Для знаходження на похідних і т.д. функцію наближено замінимо інтерполяційним поліномом Ньютона, побудованим для системи вузлів .Формула Бесселя використовується для інтерполювання всередині таблиці при значеннях q, близьких до 0.5.Виведені в попередньому пункті формули численного диференціювання для функції в точці володіють тим дефектом, що вони використовують лише односторонні значення функції при . Відносно велику точність мають симетричні формули диференціювання, враховуючи значення даної функції як при , так і при .Знайти значення першої та другої похідних даних функцій при: h=0,1 для Складемо діагональну таблицю кінцевих різниць даної функції: Таблиця 1.Аналіз формули (13) та прикладу наведеного в першому розділі дозволив розробити алгоритм, особливість якого полягає в тому, що для знаходження значення похідної використовується попереднє обчислення скінчених різниць (рис. До недоліків слід віднести необхідність обчислення всіх різниць на всьому проміжку, займає багато комірок памяті. Розрахунки показують, що для обчислення значення аргументу необхідно 16 операцій додавання, 204 операцій віднімання, 236 операцій множення та 10 операцій ділення. З врахуванням того, що час виконання операцій множення та ділення відповідно в 1,14 та 2,33 рази більший за час виконання операцій додавання (віднімання) при використанні арифметичного співпроцесора, загальна кількість операцій обчислення значення похідної складає Інший спосіб побудови алгоритму полягає в тому, що для знаходження значення похідної використовується одночасне обчислення скінчених різниць (рис.Програму можна запустити в будь-якому компіляторі або інтерпретаторі для мови програмування Pascal. Файл з текстом програми simson.pas слід розмістити в папці BIN вищенаведеного компілятора. Для відкриття програми потрібно вибрати у меню File команду Open (Відкрити), що відкриває діалогове вікно з переліком файлів поточної папки. Вибір необхідного файлу з цього списку і наступне натискання кнопки OK приводить до появи вікна з текстом програми, що дає змогу не тільки коректувати програму, але і проводити її налагодження.begin clrscr; Writeln("Vvedit read(xo,xn); read(h); read(y);З метою ефективного використання памяті для збереження початкових значень системи, вони зберігаються в динамічній памяті, що дозволяє відводити під них місце динамічного розміру в залежності від кількості заданих даних. Файл Stirling.PAS. містить описи структури методу та функцій, що використовуються основною програмою, та описи внутрішніх операторів. Команда type описує тип масиву і записується так: type =array [] of . Команда integer описує цілий тип змінних. Команда read призначена для введення даних і має такий загальний вигляд: read ().На рис.3.1 подано екранне зображення результатів обчислення програми, розробленої в середовищі системи Turbo Pascal.Проаналізовано існуючі методи чисельного диференціювання та обґрунтовано переваги чисельного диференціювання з використанням інтерполяційного многочленна Стірлінга по відношенню до існуючих, які полягають у тому, що даний метод досить простий для розуміння та точний, що і було підтверджено математично. Запропоновано два алгоритми чисельного диференціювання. Проведено аналіз ефективності розроблених алгоритмів за комплексним критерієм ефективності, що враховує час виконання та розмір алгоритму. Комплексний коефіцієнт ефективності описаних вище алгоритмів складає 0,796177. Розроблено програму чисельного диференціювання з використанням інтерполяційного многочленна Стірлінга та проведено її тестування, яке підтвердило її правильну та коректну роботу.
План
Зміст
Вступ
1. Аналіз теоретичної бази методів чисельного диференціювання функції
1.1 Формули наближеного диференціювання, основані на першій інтерполяційній формулі Ньютона
1.2 Формули наближеного диференціювання, основані на першій інтерполяційній формулі Гауса
1.3 Формули наближеного диференціювання, основані на інтерполяційній формулі Бесселя
1.4 Формули наближеного диференціювання, основані на інтерполяційній формулі Стірлінга
1.5 Приклад чисельного диференціювання методом Стірлінга
2. Розробка алгоритмів та вибір оптимального алгоритму
3. Алгоритм та програма обчислення другої похідної за інтерполяційною формулою Стірлінга
3.1 Інструкція користувача
3.2 Лістинг програми
3.3 Опис програми
3.4 Тестування програми
Висновки
Перелік посилань
Вывод
1. Проаналізовано існуючі методи чисельного диференціювання та обґрунтовано переваги чисельного диференціювання з використанням інтерполяційного многочленна Стірлінга по відношенню до існуючих, які полягають у тому, що даний метод досить простий для розуміння та точний, що і було підтверджено математично.
2. Запропоновано два алгоритми чисельного диференціювання. Проведено аналіз ефективності розроблених алгоритмів за комплексним критерієм ефективності, що враховує час виконання та розмір алгоритму. Комплексний коефіцієнт ефективності описаних вище алгоритмів складає 0,796177.
3. Розроблено програму чисельного диференціювання з використанням інтерполяційного многочленна Стірлінга та проведено її тестування, яке підтвердило її правильну та коректну роботу.
Перелік посилань
1. Березин И.С., Житков Н.П. Методы вычислений. - М.: Наука, 1966. - т.1- 633 с.
