Теоретические основы проектирования и разработки газовых месторождений. Характеристика геологического строения месторождения "Шхунное", свойства и состав пластовых газа и воды. Применение численных методов в теории разработки газовых месторождений.
1.4 Свойства и состав пластовых газа и воды2.4 Оценка запасов газа по методу падения пластового давления Применение численных методов в теории разработки газовых месторождений 3.1 Аппроксимация дифференциального уравнения конечно-разностным аналогом 3.2 Многомерные задачи теории фильтрации Воспроизведение истории разработки месторождения6.3 Расчет технико-экономических показателей 7.1 Основные направления обеспечения безопасности и экологичности эксплуатации газовых скважин в НГДУ “Оханефтегаз”Опыт проектирования и разработки газовых месторождений показывает необходимость прогнозирования показателей разработки с первых лет эксплуатации месторождений с использованием численных методов и ЭВМ. При этом речь идет, прежде всего, о численном интегрировании уравнения неустановившейся фильтрации газа к системе скважин при соответствующих краевых условиях, на чем основывается современная теория разработки газовых месторождений.Месторождение Шхунное расположено в северо-восточной части острова, близ юго-восточного берега залива Байкал, в междуречье Волчинка-Правый Кобзак (рисунок 1.1). В орографическом отношении приурочено к северному окончанию Гыргыланьи-Глухарской горной гряды. В пределах площади гряда представлена невысокой и сглаженной возвышенностью с наибольшими высотными отметками (до 79 м) в южной части площади. Возвышенность вытянута в северо-западном направлении и является водоразделом притоков рек Волчинка, Шхунный Ключ. Реки и ручьи имеют спокойное и медленное течение, заболоченные поймы и несудоходны.Так, если по кровле VII горизонта (в южном куполе) наибольшие гипсометрические отметки фиксируются в скважинах №№ 5 и 8, и осевая линия проходит через скважину № 5 и между скважинами №№ 8 и 16 по кровле XVI горизонта она проходит между скважинами №№ 5-11 и №№ 8-15, то есть на 400 м к западу. Разрывы III-III и IV-IV, осложняющие южную периклиналь южного купола, скважинами не подсекаются, контролируются несоответствием гипсометрических отметок горизонтов в скважинах и характеризуются как сбросо-сдвиги с горизонтальной амплитудой 300-500 м. Наблюдается и глинизация пород горизонта в северо-западном направлении, что зафиксировано и уменьшением эффективных толщин горизонта от 42 м в скважине № 8 до 29 м в скважине № 26. К югу от сбросо-сдвига I-I вскрывается шестнадцатью скважинами на гипсометрических отметках от минус 736 м в скважине № 8 до минус 790 м в скважине № 6. Наибольшие толщины горизонта (55-57 м) в III и IV блоках зафиксированы скважинами №№ 5, 8, 14, 15, 16, наименьшие (44-47 м) - скважинами №№ 58 и 85, то есть наблюдается та же закономерность: уменьшение толщины горизонта в северо-западном направлении.Опробование газовых VII и VIIA горизонтов производились раздельно, и только в скважинах № 10, 16 после исследования VIIA горизонта был дострелян VII горизонт и проведено их совместное исследование. Коэффициент проницаемости, определенный по результатам промысловых исследований в скважине № 5, вскрывшей совместно коллекторы VII и VIIA горизонтов, значительно ниже коэффициентов проницаемости скважине № 5, вскрывшей в отдельности коллекторы VII и VIIA горизонтов в период разведки. Говорить о внедрении краевых или подошвенных вод с уверенностью невозможно, так как к настоящему времени ни одна скважина не обводнилась (за исключением скважины № 16, в продукции которой появилась вода), хотя по некоторым скважинам (№ 15) нижние перфорационные отверстия находятся на абсолютной отметке ГВК (минус 727 м) и, к тому же, никаких специальных исследований (применение радиоактивного метода каротажа, замера избыточного давления в водяных скважинах (№ 14), подтверждающих перемещение ГВК не проводилось. Линия 4 представляет собой касательную к функции Р = Р(х) в точке i,значит тангенс ее наклона к оси х равняется значению первой производной в точке i. Точки разбиения временного интервала обозначим через 0, 1,.., j, j 1,..., k Давление в точке с координатой х = i?x в момент t = j?t обозначим через pi,j, соответственно давление в точке пласта с координатой х = i?x в момент t = (j-1)?t - через pi,j-1 и т.д.1) налоги, расходы по которым относятся на себестоимость продукции (работ, услуг): земельный налог, налог с владельцев транспортных средств; 2) налоги, расходы по которым относятся на выручку от реализации продукции (работ, услуг): НДС, акцизы, экспортные тарифы; 3) налоги, расходы по которым относятся на финансовые результаты: налог на прибыль, имущество предприятий, рекламу, целевые сборы на содержание милиции, благоустройство и уборку территории, содержание жилищного фонда и объектов социальной сферы, нужды образовательных учреждений; К этой группе относится часть местных налогов: налог на перепродажу автомобилей и вычислительной техники, лицензионный сбор за право торговли, сбор со сделок, совершаемых на биржах, налог на строительство объектов производственного назначения в курортных зонах и др. Экономическая сущность этого показателя заключается в оплате нефтегазодобывающих предприятий эксплуатируемого природного ресу
План
Содержание
Введение
Реферат
1. Геолого-физическая характеристика месторождения
1.1 Общие сведения по месторождению
Введение
Опыт проектирования и разработки газовых месторождений показывает необходимость прогнозирования показателей разработки с первых лет эксплуатации месторождений с использованием численных методов и ЭВМ. При этом речь идет, прежде всего, о численном интегрировании уравнения неустановившейся фильтрации газа к системе скважин при соответствующих краевых условиях, на чем основывается современная теория разработки газовых месторождений.
Нахождение решения практически интересных задач осуществляется в результате использования методов вычислительной математики. Решение соответствующих краевых задач на некотором временном слое сводится к решению системы алгебраических уравнений, что требует большого объема вычислений. Поэтому современные методы решения и исследования задач разработки газовых месторождений базируются на применении быстродействующих ЭВМ.
Однако методы вычислительной математики позволяют определить не только зависимость изменения во времени показателей разработки для одного расчетного варианта, но и произвести регулирование этих показателей с целью удовлетворения критерию рациональности разработки месторождений природных газов. На данный момент теория проектирования и разработки месторождений природных газов успешно развивается в этом направлении.
Вывод
2.4 Оценка запасов газа по методу падения пластового давления
3. Применение численных методов в теории разработки газовых месторождений
3.2.4 Учет дебитов и местоположения отдельных скважин
3.3 Задача теории разработки газовых месторождений
3.3.1 Постановка задачи
3.3.2 Дискретизация уравнений
3.3.3 Понятие о фиктивной скважине
3.3.4 Алгоритм решения задачи
4. Воспроизведение истории разработки месторождения
4.1 Построение расчетной модели
4.1.1 Аппроксимация области интегрирования
4.1.2 Поля фильтрационных параметров
4.2 Расчет воспроизведения процесса разработки
4.2.1 Исходные данные
4.2.2 Учет взаимодействия между пластами
4.2.3 Результаты расчета
5. Прогнозирование показателей разработки месторождения
5.1 Прогнозирование добычи газа
5.2 Отборы по скважинам
5.3 Результаты расчета прогнозирования
5.4 Регулирование процесса разработки месторождения
5.4.1 Постановка задачи
5.4.2 Применение градиентного метода
5.4.3 Определение функциональных производных
5.4.4 Определение весовых коэффициентов
5.4.5 Последовательность расчетов
5.4.6 Результаты расчетов по регулированию
6. Технико-экономические показатели разработки месторождения
6.1 Формирование прибылиОбщие гидрогеологические условия месторождения характеризуются близостью областей питания (Гыргыланьинская гряда) и разгрузки (залив Байкал), движением подземных вод в северо-северо-западном направлении со средним напорным градиентом 1-2,4 м/км, хорошими фильтрационными свойствами пород, обуславливающими значительный инфильтрационный водообмен, повышенным значением относительного напора подземных вод, возможным ощутимым влиянием водонапорного режима.
Однако залежи VII и VIIA горизонтов находятся в зоне затрудненного водообмена. Относительный напор подземных вод VII и VIIA горизонтов в III и IV блоках составляет 29-30 м абс, что меньше, чем в ниже и вышезалегающих толщах (соответственно 47 и 40 м абс) и говорит об изолированности горизонтов и можно предположить, что разработка залежей VII и VIIA горизонтов будет происходить в условиях смешанного режима (газоводонапорного).
В период разведки 1964-1966 гг. на месторождении проведены исследования скважин методом установившихся отборов c целью определения пластовых давлений и температуры, проницаемости и продуктивности скважин, допустимых рабочих дебитов.
Опробование газовых VII и VIIA горизонтов производились раздельно, и только в скважинах № 10, 16 после исследования VIIA горизонта был дострелян VII горизонт и проведено их совместное исследование.
Скважины отрабатывались на 7-17 режимах (5 мм - 27 мм), дебиты при этом изменялись от 30 тыс. м3/сут. до 560 тыс. м3/сут. при депрессии 0,1-1,3 МПА.
Пластовые давления определялись путем замера глубинными манометрами и рассчитывались по барометрической формуле.
По полученным данным, начальное пластовое давление равно условному гидростатическому и изменяется по блокам и горизонтам в зависимости от глубины залегания.
Замеры пластовой температуры выполнены в семи скважинах. Геотермическая ступень составляет 34 м/градус.
Устьевые температуры определены для рабочих режимов в процессе исследования и приведены в таблице 2.2.
В результате обработки данных по исследованию на режимах стационарной фильтрации определены коэффициенты фильтрационного сопротивления, проницаемости и пьезопроводности (таблица 2.2).
Для коллекторов продуктивных горизонтов VII и VIIA в газонасыщенной части характерна высокая проницаемость, особенно в коллекторах VIIA горизонта.
За период разработки месторождения 1993-1995 гг. по скважинам выполнен комплекс газодинамических исследований, направленный на уточнение коэффициентов фильтрационных сопротивлений и допустимых дебитов (таблица 2.2).
Нужно отметить, что за период эксплуатации газовых залежей по скважинам выполнен недостаточный комплекс газодинамических исследований.
Периодичность исследований на продуктивность установлена не реже 1 раза в год по каждой действующей скважине, однако, анализ данных, приведенных в таблице 2.2, свидетельствует о том, что периодичность исследований на продуктивность, в основном, составляла 1 раз в 2 - 3 года.
Из семи скважин действующего фонда определение продуктивной характеристики выполнено только в четырех скважинах.
Закономерности изменения фильтрационных коэффициентов устанавливались по скважинам, исследованным более одного раза.
Таблица 2.2 - Результаты исследования скважин
№ скважины Горизонт Дата исследования Диаметр штуцера, мм Дебит газа, тыс. м3/сут. Давление, МПА Деп- рес- сия, МПА Абсолютно свободный дебит, тыс.м3/ Сут. Q max, т.м3/сут. dшт, мм Тпл., ОС Ту, ОС Коэффициенты фильтрационного сопротивления Проницаемость, мкм2 устьевое пластовое забой- ное зат- руб- ное
Так, по скважине № 15, при первоначальных исследованиях, выполненных сразу после бурения скважины, получены самые низкие коэффициенты (А=0,001 МПА2/(тыс. м3/сут.), В=0,00001 МПА2/(тыс. м3/сут.)2). Исследования, проведенные после задавки скважины глинистым раствором (скважина находилась в консервации), показали, что фильтрационное сопротивление притоку газа возросло и составило А=0,0021 МПА2/(тыс. м3/сут.), В=0,00025 МПА2/(тыс. м3/сут.)2. В процессе же эксплуатации скважины происходила очистка призабойной зоны, вследствие которой уменьшалось фильтрационное сопротивление и коэффициент А почти достиг своей первоначальной величины 0,0014 МПА2/(тыс. м3/сут.) (В=0,00013 МПА2/(тыс. м3/сут.)2).
В скважине № 16, величина коэффициента А в процессе разработки постоянно увеличивается: 0,0005, 0,002, 0,0024. Увеличение коэффициента А связано с ухудшением фильтрационных параметров призабойной зоны за счет поступления пластовой воды и уменьшения пластового давления.
Коэффициент проницаемости, определенный по результатам промысловых исследований в скважине № 5, вскрывшей совместно коллекторы VII и VIIA горизонтов, значительно ниже коэффициентов проницаемости скважине № 5, вскрывшей в отдельности коллекторы VII и VIIA горизонтов в период разведки. Все это указывает на то, что продуктивная характеристика в районе скважины значительно ухудшилась в результате загрязнения призабойной зоны.
2.4 Оценка запасов газа по методу падения пластового давления
В основе метода определения запасов газа по данным о количестве отобранного газа и изменения во времени среднего пластового давления лежит уравнение материального баланса для газовой залежи:
(2.1) или , (2.2) где рн - начальное пластовое давление;
Qдоб(t) - суммарное добытое количество газа ко времени t, приведенное к атмосферному давлению рат и стандартной температуре Тст;
- газонасыщенный объем порового пространства залежи;
- коэффициент газонасыщенности;
- поровый объем залежи;
zн и - соответственно коэффициенты сверхсжимаемости газа при пластовой температуре Тпл и давлениях рн и .
Из данного уравнения следует, что для газового режима характерна прямолинейность зависимости .
Определив по промысловым данным средние пластовые давления и соответствующие добытые количества газа на различные моменты времени, построим график зависимости приведенного пластового давления в функции суммарного отбора газа (рисунок 2.2).
На рисунок 2.2 пунктиром обозначена линия газового режима для запасов, определенных объемным методом. Сплошной же линией интерполированы промысловые замеры.
Рисунок 2.2 - Определение запасов по методу падения пластового давления
Газовая залежь, работающая при газовом режиме, характеризуется тем, что отношение суммарного количества газа, добытого за определенный промежуток времени к падению средневзвешенного приведенного давления в залежи за тот же промежуток времени есть величина постоянная. Для данной зависимости эта величина постоянна и равна 520 млн. м3/МПА.
Как видно, по промысловым данным можно уточнить начальные запасы газа, экстраполировав линию газового режима до оси Qдоб. Уточненные запасы оцениваются в 2788 млн. м3.
Говорить о внедрении краевых или подошвенных вод с уверенностью невозможно, так как к настоящему времени ни одна скважина не обводнилась (за исключением скважины № 16, в продукции которой появилась вода), хотя по некоторым скважинам (№ 15) нижние перфорационные отверстия находятся на абсолютной отметке ГВК (минус 727 м) и, к тому же, никаких специальных исследований (применение радиоактивного метода каротажа, замера избыточного давления в водяных скважинах (№ 14), подтверждающих перемещение ГВК не проводилось.
3. Применение численных методов в теории разработки газовых месторождений
В теории фильтрации решение краевой задачи обычно сводится к интегрированию дифференциального уравнения в частных производных при тех или иных начальном и граничном условиях. При численном интегрировании исходное дифференциальное уравнение аппроксимируется (заменяется) системой конечно-разностных уравнений. При этом производные от искомой функции по времени и пространственным координатам заменяются разностями значений функции в соседних узловых точках. Это - один из главных моментов в численных алгоритмах решения краевых задач.
Известно, что любую функцию Р = Р(х), непрерывную и имеющую все необходимые производные при х = а, можно разложить в ряд Тейлора: . (3.1)
Здесь Р(а) - значение функции в точке x = а; Р(х) - значение функции в близрасположенной ( к точке х = а ) точке х; Р"(а), Р"(а),... - значения первой, второй и т.д. производных по х в точке x = а.
Если для рассматриваемой функции Р = Р(х) в точке х = а известны ее значение Р(а), величины первой, второй и т.д. производных, то ряд Тейлора позволяет найти значение функции Р(х) в близлежащей точке х.
Предположим теперь, что на оси ОХ имеется некоторый отрезок MN, который разбит на п равных частей так, как указано на рисунке 3.1. Тогда расстояние (шаг) между двумя точками равен h = (N-М)/n.
Рисунок 3.1 - Схема разбиения отрезка MN на n равных элементарных отрезков
Выберем произвольные точки i-1, i и i 1 на отрезке MN. При помощи ряда Тейлора (3.1) запишем значения функции в точках i-1 и i 1 через значения функции и ее производных в i-й точке. Для точки i-1 величина (х-а) =-h, а для точки i 1 она равна h. Следовательно, , (3.2)
. (3.3)
Здесь Рі, Рі-1, Pi 1 соответственно значения функции в i-й, (i-1)-й, (i 1)-й точках; Р’i, Р"i , ... - соответственно значения первой, второй и других производных по х в i- й точке.
Из выражений (3.2) и (3.3) легко получить значения первой производной в точке i: , (3.4)
. (3.5)
Здесь R1(h) и R2(h) - суммы остаточных членов, причем первый из отбрасываемых членов имеет порядок малости h (пропорционален шагу h).
Таким образом, формула (3.4) без R1(h) дает значение первой производной для конца интервала [(i-1), i], а формула (3.5) без R2(h) - для конца интервала [i, (i 1)] с погрешностью порядка малости h, так как R1(h) и R2(h) - члены первого порядка относительно шага h.
Более точное выражение для первой производной по х в точке i получим, если вычтем (3.3) из (3.4). В результате имеем: . (3.6)
Здесь R2(h) - член второго порядка малости относительно шага h. Обратимся к графической интерпретации полученных формул. На рисунке 3.2 приводится зависимость Р = Р(х) вблизи точки i. Линия 4 представляет собой касательную к функции Р = Р(х) в точке i,значит тангенс ее наклона к оси х равняется значению первой производной в точке i. Согласно (3.4), при пренебрежении остаточным членом R1(h) значение производной в точке i заменяем тангенсом угла наклона секущей 1. Согласно (3.5), при пренебрежении остаточным членом R2(h) значение производной в точке i заменяем тангенсом угла наклона секущей 3 . При использовании выражения (3.6) без остаточного члена R3(h) первая производная в точке i приравнивается к тангенсу угла наклона секущей 2. Теперь становится понятным, почему выражение (3.6) (без остаточного члена) точнее аппроксимирует производную в точке i, чем выражения (3.4) и (3.5) (также без остаточных членов).
Рисунок 3.2 - Графическая интерпретация аппроксимирующих выражений для первой производной
Сложив (3.2) и (3.3), получим аппроксимирующее выражение для второй производной в точке i: . (3.7)
Отсюда видно, что для аппроксимации второй производной в точке i используются значения функции в самой точке i и в соседних (слева и справа) точках. При этом отбрасываемый член R4 имеет второй порядок малости относительно шага h.
Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение неустановившейся плоскопараллельной фильтрации жидкости (в безразмерном виде): . (3.8)
Интересующий нас интервал времени [0, T] разобьем на k равных частей. Точки разбиения временного интервала обозначим через 0, 1,.., j, j 1,..., k Давление в точке с координатой х = i?x в момент t = j?t обозначим через pi,j, соответственно давление в точке пласта с координатой х = i?x в момент t = (j-1)?t - через pi,j-1 и т.д.
Тогда уравнение (3.7) с учетом (3.5) и (3.7) для точки i можно записать следующим образом: . (3.9)
Здесь O[?t (?x)2] - погрешность аппроксимации уравнения (3.8) конечно-разностным уравнением. В дальнейшем считаем, что данным членом можно пренебречь.
3.1.2 Учет неоднородности
Результаты предыдущего пункта обобщим на случай пласта, неоднородного по своим коллекторским свойствам. Изменение свойств пласта будет задаваться некоторой функцией пространственной координаты k=k(x). Тогда уравнение (3.8) перепишется в виде
. (3.10)
Аппроксимируем это уравнение системой разностных уравнений. Введем обозначение . На серединах интервалов [(i-1)?x, i?x] и [i?x, (i 1)?x] введем промежуточные точки с номерами соответственно i-1/2 и i 1/2. Тогда значение производной в i-й точке можно записать в виде
, (3.11) где O[(?x)2] - остаточный член порядка (?x)2;
через ki 1/2 обозначена величина k[(i 1/2)?x].
Нетрудно видеть, что , (3.12)
. (3.13)
В дальнейшем, как и ранее, остаточными членами будем пренебрегать.
Подставив (3.11) - (3.13) в уравнение (3.10), получим следующий ее конечно- разностный аналог
. (3.14)
3.1.3 Явная и неявная разностные схемы
Уравнение (3.9) можно записать двояким образом в зависимости от того, к какому временному слою относить его левую часть. Допустим, что решение уравнения (3.8) на момент (j-1)?t уже известно. Отыскивается решение на момент j?t.
Запишем левую часть уравнения (3.9) на временном слое t=(j-1)?t: . (3.15)
Если левую часть уравнения (3.9) записать на временном слое t=j?t ,то получим
. (3.16)
Уравнение (3.15) соответствует явной, а уравнение (3.16) - неявной разностной схеме.
Из уравнения (3.15) видно, что в него входит лишь одна неизвестная величина - pi,j, (рисунок 3.3). Если решение задачи на слое (j-1)?t известно, то, применяя последовательно уравнение (3.15) к каждой i-й точке (с учетом граничных условий), можно отыскать искомое решение на временном слое j?t и так далее. Это поясняет, почему данная схема называется явной: уравнение (3.15) позволяет явным образом находить решение задачи в каждой i-й точке в момент j?t.
Рисунок 3.3 - Явная разностная схема
В уравнении (3.16) имеются три неизвестные величины: pi,j, pi 1,j, pi-1,j (рисунок 3.4). Записав уравнение (3.16) для точек i =1,2, ... ,n-1, получим систему из п-1 уравнений с п 1неизвестными. Граничные условия в точках. i=0 и i=n дают еще два уравнения. Следовательно, для нахождения решения задачи на слое j?t требуется решить систему из n 1 алгебраических уравнений с n 1 неизвестными: p0,j; p1,j; p2,j; …; pn-1,j; pn,j.
Рисунок 3.4 - Неявная разностная схема
Итак, использование численного метода сводит интегрирование дифференциального уравнения (3.8) при соответствующих краевых условиях к решению чисто алгебраической задачи. При этом практическое применение получила неявная схема, так как для явной схемы характерно наличие следующего ограничения на шаг по оси времени: . (3.17)
Данное ограничение является жестким, поэтому выгодно, с точки зрения затрат времени на ЭВМ, на каждом временном слое решать систему алгебраических уравнений, используя ?t, значительно превышающий временной шаг, диктуемый неравенством (3.17) для явной схемы.
3.2 Многомерные задачи теории фильтрации
3.2.1 Исходные уравнения
Большинство практически интересных задач в области разработки газовых и нефтяных месторождений решаются в двумерной и трехмерной постановках. Это означает, что в простейшем случае требуется проинтегрировать двумерное уравнение неустановившейся фильтрации газа (или жидкости) при соответствующих краевых условиях.
Рассмотрим случай неустановившейся фильтрации жидкости в пласте, однородном по коллекторским свойствам. Тогда рассмотрение интересующих идей оказывается наиболее простым и плодотворным.
Известно, что двумерная неустановившаяся фильтрация жидкости в однородном пласте описывается следующим дифференциальным уравнением параболического типа: . (3.18)
Данное уравнение необходимо решить при заданном начальном условии, в качестве которого примем условие невозмущенности нефтеносного (водоносного) пласта, то есть
. (3.19)
Условие (3.19) означает, что до начала разработки нефтяной залежи давление везде одинаково и равно начальному рн. Запись читается так: x и y принадлежат области интегрирования G.
Внешнюю границу области G обозначим через Г. На ней могут задаваться те или иные граничные условия, например: (3.20) или . (3.21)
Здесь - нормаль к внешней границе пласта Г.
Если в формулировке задачи требуется соблюсти условие (3.20), то предполагается непроницаемость внешней границы. Условие (3.21) характеризует известную зависимость давлений на границе Г от времени. В частном случае на внешней границе задается, например, некоторое постоянное давление p0 и т.д.
Кроме того, при решении уравнения (3.18) необходимо учесть условия на внутренних границах - граничные условия на скважинах. Проще всего это сделать, введя в дифференциальное уравнение (3.18) член, учитывающий действие источников или стоков.
Примем пока, что добывающие скважины расположены равномерно на площади нефтеносности и характеризуются плотностью источников (стоков) жидкости q=q(x,y,t). Этот факт учитывается следующей формой записи исходного дифференциального уравнения: . (3.22)
Здесь - плотность отбора нефти из единицы площади нефтеносности в единицу времени в момент времени t в точке с координатами х и у.
Таким образом, для определенности будем рассматривать решение уравнения (3.22) при соблюдении условий (3.19) и (3.20).
3.2.2 Типы сеточных областей
При исследовании двумерных задач теории разработки область фильтрации разбивается на элементарные площадки с шагами ?x и ?y соответственно по осям Ох и Оу. При этом наиболее распространены сетки двух типов (рисунки 3.5, 3.6).
1. Блоковая сеточная область. Здесь искомые давления вычисляются в центрах элементарных ячеек. Она предпочтительна в том случае, когда на внешней границе Г задано значение нормальной производной - условие (3.20).
Рисунок 3.5 - Схема блоковой сеточной области
2. Узловая сеточная область. В данном случае давления вычисляются в узлах пересечений линий сетки. Подобная сетка целесообразна, когда на внешней границе Г задаются значения давлений - условие (3.21).
Рисунок 3.6 - Схема узловой сеточной области
Сеточные области рассматриваемых типов взаимообратимы. Так блоковая сеточная область обращается в узловую, если узловые точки разместить в центрах блоков. Наложение блоковой сетки на узловую при сохранении центрального положения узлов переводит узловую сетку в блоковую.
Для сформулированной задачи рассуждения будем проводить применительно к блоковой сеточной области.
При решении исходной задачи могут использоваться те или иные разностные схемы. Явную разностную схему не будем рассматривать изза необходимости соблюдения достаточно жесткого ограничения на величину временного шага.
3.2.3 Полностью неявная разностная схема
Элементарным ячейкам (блокам) в направлении оси Ох будем приписывать индекс i, вдоль оси Оу - индекс j и по оси времени - индекс k.Тогда, например, pi,j,k будет означать давление в точке пласта с координатами х=i?x и y=j?y в момент времени t=k?t. Применение неявной разностной схемы к уравнению (3.22) дает следующее разностное уравнение для (i, j)-й ячейки: . (3.23)
Уравнение (3.23) записано дня (i, j)-й элементарной ячейки. В этом уравнении пять неизвестных давлений: давление в самой (i, j)-й ячейке и в четырех соседних ячейках, то есть неизвестны pi,j,k, pi 1,j,k, pi-1,j,k, pi,j 1,k, pi,j-1,k
Записывая уравнение (3.23) для всех элементарных ячеек области интегрирования, приходим к системе из (m-1)(n-1) алгебраических уравнений с (m 1)(n 1) неизвестными. Здесь (m-1)(n-1) - число ячеек, на которое разбита рассматриваемая область интегрирования. Получаемая система уравнений такова, что в каждом из уравнений имеем по пять неизвестных давлений. Поэтому говорят, что такая система уравнений характеризуется пятидиагональной матрицей. При учете граничного условия на границе Г число алгебраических уравнений составит (m 1)(n 1) с таким же числом неизвестных давлений.
Таким образом, в случае двумерной фильтрации упругой жидкости задача интегрирования (3.22) при соответствующих краевых условиях сводится к чисто алгебраической. Здесь на каждом временном слое необходимо найти решение системы алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей.
3.2.4 Учет дебитов и местоположения отдельных скважин
В предыдущем изложении дебиты скважин предполагались "размазанными" по всей площади нефтеносности.
Пусть теперь в точке с координатами x и y находится одна добывающая скважина. Этот факт учитывается следующей формой записи исходного дифференциального уравнения: . (3.24)
Здесь ? - дельта-функция Дирака, определяется следующим образом: , если абсцисса x равняется абсциссе расположения скважины x? противном случае .
При численном решении двумерной задачи теории фильтрации дельта-функция Дирака заменяется своим разностным аналогом. Значения произведений дельта-функций в (i, j)-й ячейке равны: (3.25)
3.3 Задача теории разработки газовых месторождений
3.3.1 Постановка задачи
Перейдем теперь к формулировке и решению одной из основных задач теории проектирования разработки газовых месторождений. Предположим, что задан отбор газа из месторождения во времени Q = Q(t). Известны коллекторские свойства пласта, продуктивные характеристики скважин в разных зонах месторождения, начальные пластовые давление и температура, состав газа. Продуктивный пласт дренируется нерегулярной сеткой скважин. Места расположения добывающих скважин известны, а также предопределены время ввода и месторасположения для проектных скважин. Скважины эксплуатируются при заданных переменных во времени дебитах газа. Необходимо определить изменение во времени пластовых давлений и, в частности, забойных давлений в добывающих скважинах.
Сказанное означает, что требуется найти решение дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации газа
(3.26) при следующих граничных условиях
, (3.27)
. (3.28)
Применение уравнения в виде (3.26) избавляет от необходимости выделения и специального учета граничных условий на скважинах. При этом учтены реальные свойства газа и то, что вследствие деформации коллектора изменяется (уменьшается) коэффициент проницаемости в каждой точке пласта.
Область газоносности G покрываем сеточной областью с шагами ?x и ?y вдоль осей Ох и Оу соответственно. Внешнюю границу Г аппроксимируем сеточной границей Г". При использовании узловой сеточной области граница Г" располагается между соответствующими узловыми точками.
Предполагаем, что скважины попадают в узловые точки (или центры ячеек). Этого всегда можно добиться соответствующим перемещением сеточной области до наилучшего совпадения мест расположения скважин с узловыми точками и некоторым "сдвигом" отдельных скважин. Эта операция осуществляется до аппроксимации внешней границы Г сеточной границей Г".
3.3.2 Дискретизация уравнений
Имеются различные алгоритмы решения рассматриваемой одной из основных задач теории разработки газовых месторождений при газовом режиме. Остановимся на одном из них. Для этого уравнение (3.26) запишем в виде
(3.29)
Введем обозначения: .
Тогда уравнение (24) примет вид
(3.30)
Для решения задачи (3.30), (3.27), (3.28) воспользуемся полностью неявной разностной схемой. В (k-1)-й момент времени считаем, что решение уже найдено. Отыскивается решение задачи в k-й момент времени. Разностный аналог уравнения (3.30) для (i, j)-й узловой точки записывается в виде
(3.31)
Здесь положили, что в (i, j)-й узловой точке находится скважина; - дебит рассматриваемой скважины в k-й момент времени (в течение интервала [(k-1)?t, k?t]), приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре.
Очевидно, что в уравнении (3.31) последний член будет равен нулю во всех узловых точках, где нет скважин. Кроме того, он равен нулю и в точках расположения скважины, если она в этот момент времени не эксплуатировалась или еще не введена в эксплуатацию.
Уравнение 3.(31) - нелинейное. Его можно линеаризовать, приняв следующие допущения:
.
Здесь, например, .
Тогда уравнение (31) записывается в виде
(3.32)
Условие (3.27) - начальное условие, означающее, что при t=0 в пласте имеенся заданное распределение давления. Условие (3.28) характеризует непроницаемость внешних границ. Это означает, что при скорость фильтрации за пределы области G равна нулю. Из закона Дарси вытекает, что условие равносильно заданию условия . Это выражение можно аппроксимировать с использованием выражения второго порядка точности .
А условие (3.23) аппроксимируется в виде
. (3.33)
3.3.3 Понятие о фиктивной скважине
Использование дифференциального уравнения с распределенными в области интегрирования источниками избавляет от необходимости специального учета и задания граничных условий на скважинах. При численном интегрировании данного уравнения в узловых точках сеточной области, на которые приходятся скважины, задаются плотности источников, пропорциональные дебитам скважин (дебиты скважин, деленные на элементарную площадь ?x?y). В иных узловых точках плотности источников принимаются равными нулю.
Следовательно, при численном решении двумерной задачи неустановившейся фильтрации газа действие добывающих скважин заменяется воздействием на пласт соответствующих источников с равномерно распределенными плотностями отборов газа из квадратов (прямоугольников) со сторонами ?x и ?y , в центре которых находятся скважины. Поэтому неочевидно, каким решением краевой задачи в каждом конкретном случае мы располагаем. Это связано с тем, что контуры реальных скважин не аппроксимируются сеточной границей и условия на этих сеточных контурах скважин не задаются.
Проведенные Г.Г. Вахтовым исследования показали, что получаемые при численном решении двумерных задач теории фильтрации поля давлений соответствуют работе не реальных, а некоторых фиктивных скважин. Это означает, что во всех узловых точках, кроме точек расположения скважин, вычисляемые давления соответствуют действительным (точным - при решении модельных задач). В точках расположения скважин вычисляемые давления равняются давлениям не на забое реальной, а забое фиктивной скважины с радиусом Rсф. При этом радиус фиктивной скважины зависит только от шага сеточной области ?x (при ?x =?y) по пространственной координате и удовлетворяет соотношению Rсф = 0,2077?x Таким образом, при численном интегрировании на ЭВМ двумерной задачи неустановившейся фильтрации газа в точках расположения скважин получаем давления, которые можем соотнести с пластовыми давлениями в районе рассматриваемых скважин. Тогда для отыскания забойного давления в каждой скважине требуется учесть фильтрационные сопротивления в зоне пласта между радиусом фиктивной скважины Rсф и радиусом реальной скважины Rc.
Указанная зона у каждой скважины является зоной квазиустановившегося течения. Это означает, что в каждый момент допустимо рассматривать в этой зоне фильтрационный поток стационарным, установившимся. Следовательно, для каждой скважины можем записать следующее уравнение притока газа: , (3.34) где рсф(t) - давление на забое фиктивной скважины (в точке расположения скважины на сеточной модели пласта) в момент t;
pc - давление на забое реальной скважины;
q - дебит скважины;
а, b - коэффициенты фильтрационных сопротивлений зоны пласта между радиусами Rc и Rсф.
Итак, при численном решении задачи о неустановившемся притоке газа к системе скважин задаемся плотностями источников, пропорциональными дебитам отдельных скважин (переменными во времени). Находятся давления в каждом узле сеточной области, в том числе и в точках расположения скважин. Пусть в (i, j) -й точке находится ?-я скважина. Согласно сказанному, давление в точке pi,j,k отождествляется с давлением на стенке фиктивной скважины pсф?(t), т.е. pсф?(t) = pi,j,k. Вычисленные давления pсф?(t) позволяют с использованием (34) находить забойные давления в каждой ?-й реальной скважине.
Одна из особенностей притока газа к скважине - значительные потери давления именно в призабойной зоне пласта. Поэтому допустимо принятие допущений а?А и b?В. Здесь А и В - коэффициенты фильтрационных сопротивлений рассматриваемой ?-й скважины, найденные в результате интерпретации данных ее исследования при установившихся режимах.
3.3.4 Алгоритм решения задачи
Учитывая (3.33), запишем (3.32) в виде
(3.35) где
Применяя уравнение (3.35) к каждой внутренней точке, учитывая условия вдоль всей сеточной границы Г", получаем замкнутую систему линейных алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей (рисунок 3.9).
На рисунке 3.9 элементы, не равные нулю, отмечены знаками ?. К примеру для девятой строки (i=3, j=2) эти элементы следующие: g3,2; c3,2; a3,2; b3,2; f3,2.
Решаемое матричное уравнение можно записать в виде
. (3.36) где A - матрица вида, показанного на рисунке совокупность неизвестных значений давления на разностной сетке, а также правых частей системы - векторы вида
. (3.37)
Поскольку система (3.35) является нелинейной, получение ее решения возможно только на основе численных методов интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Методы численного решения подобных систем могут быть различными. В настоящей работе используется метод неполной разностной факторизации [].
Сущность метода заключается в следующем. Пятидиагональная матрица системы разностных (алгебраических) уравнений представляется в виде произведения двух матриц - верхней и нижней (рисунок 3.11) треугольных матриц. На рисунке элементы, не равные нулю, отмечены знаками ? (к примеру для девятой строки (i=3, j=2) эти элементы следующие:1; b3,2; f3,2). На рисунке элементы, не равные нулю, отмечены знаками ?(к примеру для девятой строки (i=3, j=2) эти элементы следующие: g3,2; c3,2; a3,2).
Обычное разложение (факторизация) матрицы А на верхнюю U и нижнюю L треугольные матрицы приводит к появлению ненулевых членов в области между главной диагональю и диагональю g для нижней матрицы и в области между главной диагональю и диагональю f для верхней матрицы. При значительном числе узлов разностной сетки решение такой факторизованной (то есть разложенной на множители) системы требует большой памяти для хранения ненулевых членов матриц и значительных затрат машинного времени на решение.
Однако матрицу А можно модифицировать добавлением некоторой вспомогательной матрицы N таким образом, чтобы ненулевые члены сохранялись только на двух дополнительных диагоналях.
Модифицированная матрица (A N) легко факторизуется (разлагается) на произведение матриц LU.
Согласно идее рассматриваемого метода решения добавим справа и слева в (3.36) вспомогательную матрицу. Следует отметить, что для определения матрицы N можно использовать несколько методов. Мы воспользуемся методом, предложенным Стоуном. Тогда будем иметь
, (3.38) где матрица (A N) по условию легко разлагается.
Система (3.38) решается, если величины в правой части известны. Для этого применим следующую итерационную схему:
, (3.39) где m - номер итерации.
Некоторые исследователи указывают, что для улучшения сходимости решения удобнее решать задачу не относительно итерируемой величины pm 1, а относительно вектора невязки (приращений): . (3.40)
Добавим и вычтем из правой части (3.38) величину Apm.
. (3.41)
Тогда (3.42) или окончательно
, (3.43) где ;
А - матрица коэффициентов разностных уравнений;
N - вспомогательная матрица;
р - искомая функция (вектор);
d - правая часть разностных уравнений (вектор).
Модифицированная матрица (А N) должна по условию легко факторизоваться на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы, то есть
, (3.44) где L - нижняя, а U - верхняя треугольные матрицы.
Из (3.43) и (3.44) следует, что . (3.45)
Обозначим
, (3.46) тогда из (3.45) следует: . (3.47)
Решение системы (3.43) можно получить следующим образом. Так как L и U - треугольные матрицы, то сначала из (3.47) определяем вектор V: , (3.48) а затем из (3.46) определяем вектор приращений dpm 1 искомых давлений на (m 1)-й итерации
. (3.49)
Элемент матрицы в уравнении (3.43) для некоторой точки пространственной сетки имеет вид
(3.50)
В (3.50) две последние строки выражают вспомогательную матрицу N, ? - итерационный параметр, рассматриваемый ниже. Для решения имеем следующие рекуррентные выражения для коэффициентов прогонки: , , , (3.51)
, .
Прямая прогонка имеет вид
. (3.52)
Обратная прогонка
. (3.53)
Рекомендуется использовать последовательность итерационных параметров ? в цикле. Эти параметры распределены в соответствии с геометрической прогрессией в. интервале между 0 и ?max, где (1-?max) равен минимуму по сетке для выражения
(3.54)
Итерационные параметры вычисляют по формуле
(3.55) где М - число параметров для одного цикла.
Рекомендуется использовать минимум четыре параметра.
4. Воспроизведение истории разработки месторождения
4.1 Построение расчетной модели
4.1.1 Аппроксимация области интегрирования
Здесь применяется следующий метод. Залежь заключается в прямоугольник, состоящий из m?n ячеек со сторонами ?x и ?y. Проводится наилучшая аппроксимация границы Г сеточной границей Г". В пределах области интегрирования задаются реальные значения параметров пласта. Вне продуктивной области задаются значения коэффициента проницаемости, равные нулю.
На рисунках 4.1 и 4.2 приведены расчетные схемы для VII и VIIA горизонтов. Шаги для обеих схем ?x = ?y = 100 м.
Для VIIA горизонта i = 1..n = 1..16, j = 1..m = 1..34. Скважины №№ 5, 8, 10, 16, 75 находятся соответственно в ячейках (9, 13), (9, 26), (5, 15), (6, 29), (8, 5).
Для VII горизонта i = 1..n = 1..19, j = 1..m = 1..34. Скважины №№ 5, 8, 10, 11, 15, 16, 75 находятся соответственно в ячейках (10, 13), (10, 26), (6, 15), (15, 11), (14, 23), (7, 29), (9, 5).
4.1.2 Поля фильтрационных параметров
Различные параметры, необходимые для определения геометрических размеров пласта и для вычисления его фильтрационных параметров в течение цикла моделирования, должны быть представлены в определенной форме. Перечислим эти данные: проницаемость, пористость, толщина пласта, насыщенность пласта флюидами.
Рисунок 4.1 - Расчетная схема для VII горизонта
Рисунок 4.2 - Расчетная схема для VIIA горизонта
Эти параметры составляют наиболее обширную часть исходных данных, необходимых для модели. Конкретные значения упомянутых параметров необходимо определять для каждой ячейки модели. Обычно предполагается, что в пределах любой ячейки параметры пласта неизменны, то есть пласт однороден по всей ячейке.
Средние значения параметров, задаваемых в конкретные ячейки можно рассчитать следующим образом. “Объем параметров” ячейки определяют как объем призмы, образованной между поверхностью значений параметра и вертика
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
