Проекційно-ітераційні методи та їх застосування до розв"язування крайових задач теорії пружності - Автореферат

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукРобота виконана у Дніпропетровському національного університеті Міністерства освіти і науки України. Науковий керівник: Балашова Світлана Дмитрівна, кандидат фізико-математичних наук, доцент, Дніпропетровський національний університет. Офіційні опоненти: Сулим Георгій Теодорович, доктор фізико-математичних наук, професор, Львівський національний університет ім. Кузьменко Василь Іванович, доктор фізико-математичних наук, професор, Дніпропетровський національний університет, професор кафедри математичного моделювання. Захист відбудеться "22" червня 2007 р. о 13.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49044, м.Дисертацію присвячено розробці і теоретичному обґрунтуванню проекційно-ітераційних методів розвязування операторних рівнянь з необмеженими операторами і задач умовної мінімізації функціоналів у гільбертових просторах та їх застосуванню до розвязування крайових задач теорії пружності. Широке коло науково-технічних проблем дослідження процесів різної фізичної природи, зокрема механіки деформованого твердого тіла, зводиться до крайових задач для диференціальних рівнянь і їх систем або до задач мінімізації деякого функціоналу на заданій множині визначеної структури. Відомо, що крайові задачі для диференціальних рівнянь можна трактувати як операторні рівняння або ставити їм у відповідність екстремальні задачі в належним чином обраних функціональних просторах і для їх дослідження застосовувати апарат і методи функціонального аналізу. Теорія екстремальних задач у функціональних просторах, методи їх розвязування розроблялись досить інтенсивно у 70-х роках минулого сторіччя, і кількість робіт у цій галузі продовжує зростати. Сьярле та ін., а також широкого розповсюдження набули методи граничних інтегральних рівнянь і граничних елементів, запропоновані у роботах Н.І.У першому розділі приводиться огляд вітчизняних та зарубіжних публікацій за тематикою дисертації, подається аналіз сучасного стану проблеми розвитку чисельних методів розвязування плоских, просторових і контактних крайових задач теорії пружності, визначаються деякі питання, що залишились невирішеними, обґрунтовується необхідність проведення досліджень по розробці і застосуванню модифікацій проекційно-ітераційних методів на основі методу скінченних елементів для розвязування задач механіки деформованого твердого тіла. У другому розділі приводиться загальна схема проекційних і проекційно-ітераційних методів для розвязування операторного рівняння з лінійним, для загального випадку, необмеженим оператором L, діючим у банаховому просторі X, і пропонується проекційно-ітераційна модифікація узагальненого методу моментів для розвязування лінійних операторних рівнянь з необмеженими-позитивно визначеними (-п.в.) операторами в гільбертових просторах. проекційний ітераційний гільбертовий пружність Петришиним у 1962 році, надала можливість побудувати узагальнення таких методів, як методи Бубнова-Гальоркіна, найменших квадратів, моментів, які, як окремі випадки, ввійшли в так званий узагальнений метод моментів. За допомогою цього методу розвязана задача про згин пружної прямокутної пластинки з жорстко затиснутими краями та проведено порівняльний аналіз результатів з розвязками, одержаними традиційним методом Бубнова-Гальоркіна. При цьому відносна похибка наближеного розвязку, при визначеному виборі параметра kn, в проекційно-ітераційному методі становить менше, ніж при застосуванні звичайного проекційного метода.Показано, що проекційно-ітераційний варіант методу скінченних елементів є окремим випадком проекційно-ітераційної модифікації узагальненого методу моментів при спеціальному виборі координатних функцій; Проведено порівняльний аналіз обчислювальної ефективності проекційно-ітераційних варіантів методу скінченних елементів і методу скінченних різниць, основаних на процесі верхньої релаксації, із традиційними методами скінченних елементів і скінченних різниць. Результати розрахунків підтвердили економічність проекційно-ітераційних варіантів методів скінченних елементів (майже в 5 разів) і скінченних різниць (майже в 4 рази) у порівнянні з традиційними методами, а також виявили переваги проекційно-ітераційного варіанту методу скінченних елементів у порівнянні з проекційно-ітераційним варіантом методу скінченних різниць (приблизно в 2,4 рази) з точки зору зменшення обчислювальних витрат на побудову наближеного розвязку; досліджено обчислювальну ефективність проекційно-ітераційних варіантів методу скінченних елементів розвязування контактних задач з ідеальними односторонніми вязями, основаних на методі спряжених градієнтів і методі верхньої релаксації, та проведено порівняльний аналіз отриманих результатів з результатами розрахунків багатосітковим методом скінченних елементів.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ