Продовження метричних структур - Автореферат

Міністерство освіти і науки УкраїниРобота виконана на кафедрі геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України. Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Зарічний Михайло Михайлович, декан механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Лопушанський Олег Васильович, завідувач відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Захист відбудеться “29”червня 2007 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м.Задача продовження відображень є однією з фундаментальних математичних задач; теореми про продовження займають важливе місце в топології і функціональному аналізі. Гаусдорфа 1930 року, в якій доведено, що кожна метрика, яка породжує топологію замкненого підпростору метризовного топологічного простору, може бути продовжена до неперервної метрики на всьому просторі. Природньо виникає проблема існування та побудови аналогів операторів одночасного продовження метричних структур, неперервних в різних топологіях на множинах часткових (псевдо)метрик (наприклад, топологія Фелла при ототожненні псевдометрик з їхніми графіками, гіпографіками, топологія поточкової збіжності, ліпшицева топологія). При цьому можна вимагати збереження спеціальних властивостей (псевдо)метрик, таких, як неперервність, ліпшицевість, напівнеперервність, накладати умови на область визначення псевдометрик (опуклі множини і тіла, замкнені, компактні множини, ланцюги компактних підмножин вихідного простору та ін.). У дисертації отримано наступні нові результати: - одержано опис властивостей операторів продовження неперервних, напівнеперервних та ліпшицевих (псевдо)метрик, заданих на опуклих компактних підмножинах локально опуклого компактного топологічного простору.Третій розділ “Лінійні оператори продовження псевдометрик, визначених на опуклих підмножинах локально опуклих просторів” складається з пятьох підрозділів та висновків. Розглянемо опуклий метризовний компактний підпростір деякого локально опуклого топологічного простору і позначимо через множину його непорожніх компактних опуклих підмножин. У підрозділі 3.2 розглянуто оператор продовження напівнеперервних зверху метрик, визначених на фіксованій замкненій опуклій підмножині простору. Позначимо через та множини всіх напівнеперервних зверху метрик, заданих відповідно на та на , розглядаючи ці множини як підпростори. Тоді існує оператор , який задовольняє наступні умови для довільних чисел таких, що та метрик : 1) є продовженням псевдометрики на простір ;Зокрема, розглянуто лінійні неперервні оператори одночасного продовження напівнеперервних зверху, неперервних та ліпшицевих (псевдо)метрик, визначених на замкнених опуклих підмножинах та опуклих тілах локально опуклих топологічних просторів. При цьому на множині часткових псевдометрик введено топології Фелла (при ототожненні кожної псевдометрики з її субграфіком чи графіком), поточкової та рівномірної збіжності. Отримано ряд результатів повязаних з побудовою та описом властивостей однорідних операторів одночасного продовження неперервних ультраметрик, визначених на замкнених підмножинах нульвимірного компактного метризовного топологічного простору. Зокрема, доведено існування однорідного оператора одночасного продовження неперервних ультраметрик, який володіє всіма властивостями відображення, побудованого М.М.

2. Основний зміст роботи