Характеристика проблемы якобиана – проблемы алгебры и алгебраической геометрии, сформулированной Келлером в 1939 году. Формулировка проблемы якобиана, анализ современных методов ее решения. Исследование неудавшихся доказательств гипотезы якобиана.
Аннотация к работе
Реферат на тему: «Проблема якобиана»
2015Реферат посвящен одной из самых старых и знаменитых нерешенных проблем алгебры и алгебраической геометрии, проблеме якобиана, сформулированной Келлером в 1939 году. Проблема якобиана входит в список Смейла под номером шестнадцать. В задачи данной работы входит: · Ознакомление с понятиями, которыми необходимо владеть для понимания проблемы якобиана. При написании данного реферата мы использовали статьи, написанные на русском языке или переведенные, а также англоязычные работы. Во вторую группу входят работы, содержащие обзор публикаций, посвященных гипотезе якобиана.Якобиан - определитель матрицы Якоби - функциональный определитель специального вида, составленный из частных производных первого порядка. Рассмотрим функций , ,…, , стоящих в левых частях этой системы и составим из частных производных этих функций следующий определитель Данный определитель называется определителем Якоби или якобианом функций , ,…, по переменным и кратко обозначается символом [3]. А якобиан перехода от декартовых координат к полярным является определитель матрицы Якоби: Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых координат к полярным будет иметь следующий вид: Полином или многочлен n-й степени от неизвестного называется выражение вида Множество всех действительных чисел обозначается буквой , множество же комплексных чисел принято обозначать буквой [4].Предположим, что система уравнений имеет единственное решение для любого набора , причем существуют такие многочлены , что каждое . Система (2.1) задает полиномиальное отображение , при котором Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2.2) квадратную матрицу размера , в которой на месте стоит частная производная . Зададим другое полиномиальное отображение и - их композиция (произведение). В частности, если заданы полиномиальные отображения и , то их композиция является тождественным отображением.В этом параграфе мы перечислим методы, использующиеся для доказательства гипотезы якобиана. Первым рассмотренным нами методом будет K-теория или метод стабильности, который был разработан Бассом, Коннеллом и Райтом. В этом методе согласуются коэффициенты полиномов со степенями полиномов и размерностью пространства. Ванг показал, что гипотеза якобиана верна для квадратичных уравнений любой размерности. Третий метод состоит в изучении двух кривых над полем и кривой над полем , наиболее интересны особенности этих кривых в бесконечности.Сначала эта проблема носила имя Келлера, как первооткрывателя, затем, поскольку проблема заключается в преобразовании якобиана, ей было дано название «проблема якобиана» или «гипотеза якобиана». Случай, когда рассматривается подробно в конспектах лекций Абхянкара, где он рассматривает галуа случаи: является галуа над . (1.6) Теорема (Басс, Коннелл, Райт, Ягжев) Если гипотеза якобиана выполняется для всех и все такие, что , то гипотеза якобиана выполняется и в общем случае. Объединяя этот результат с результатом, полученным ранее Дружковским, он утверждает, что: (1.8) Следствие (Хабберс) Гипотеза якобиана выполняется для всех вида (2), если [13]. Следовательно, если гипотеза якобиана выполняется для всех полиномиальных отображений (с действительными коэффициентами) , для всех , тогда гипотеза якобиана верна в общем случае.Закончим мы наш исторический обзор перечислением неудачных доказательств гипотезы якобиана. Несмотря на то, что автором не удалось решить проблему якобиана, их работы были значимы для развития данной проблемы и математической теории в целом. Сегре опубликовал три неполных доказательств гипотезы якобиана. Во второй своей работе Сегре сформулировал и доказал Лемму: Если и в C[T] непостоянны по T и генерируют полиномиальную алгебру C[T], тогда ни одна из степеней deg(f) и deg(g) не делит другую. Но в этой работе нет упоминания о том, что Сегре пытался доказать гипотезу якобиана на основании своей леммы, и Абхянкар и Мо воспользовались его наработками для корректного доказательства гипотезы якобиана.В данной работе мы постарались дать полный обзор имеющихся результатов связанных с гипотезой якобиана. Сформулируем Общую гипотезу якобиана: Пусть полиномиальное отображение. В случае непостоянства якобиана имеется полином степени не меньше единицы, который принимает значение 0 в некоторой точке. В случае существуют непостоянные полиномы, принимающие значения одного знака. Доказательство этой гипотезы стало популярным занятием среди математиков в 50 годы 20 века.