Характеристика проблемы якобиана – проблемы алгебры и алгебраической геометрии, сформулированной Келлером в 1939 году. Формулировка проблемы якобиана, анализ современных методов ее решения. Исследование неудавшихся доказательств гипотезы якобиана.
2015Реферат посвящен одной из самых старых и знаменитых нерешенных проблем алгебры и алгебраической геометрии, проблеме якобиана, сформулированной Келлером в 1939 году. Проблема якобиана входит в список Смейла под номером шестнадцать. В задачи данной работы входит: · Ознакомление с понятиями, которыми необходимо владеть для понимания проблемы якобиана. При написании данного реферата мы использовали статьи, написанные на русском языке или переведенные, а также англоязычные работы. Во вторую группу входят работы, содержащие обзор публикаций, посвященных гипотезе якобиана.Якобиан - определитель матрицы Якоби - функциональный определитель специального вида, составленный из частных производных первого порядка. Рассмотрим функций , ,…, , стоящих в левых частях этой системы и составим из частных производных этих функций следующий определитель Данный определитель называется определителем Якоби или якобианом функций , ,…, по переменным и кратко обозначается символом [3]. А якобиан перехода от декартовых координат к полярным является определитель матрицы Якоби: Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых координат к полярным будет иметь следующий вид: Полином или многочлен n-й степени от неизвестного называется выражение вида Множество всех действительных чисел обозначается буквой , множество же комплексных чисел принято обозначать буквой [4].Предположим, что система уравнений имеет единственное решение для любого набора , причем существуют такие многочлены , что каждое . Система (2.1) задает полиномиальное отображение , при котором Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2.2) квадратную матрицу размера , в которой на месте стоит частная производная . Зададим другое полиномиальное отображение и - их композиция (произведение). В частности, если заданы полиномиальные отображения и , то их композиция является тождественным отображением.В этом параграфе мы перечислим методы, использующиеся для доказательства гипотезы якобиана. Первым рассмотренным нами методом будет K-теория или метод стабильности, который был разработан Бассом, Коннеллом и Райтом. В этом методе согласуются коэффициенты полиномов со степенями полиномов и размерностью пространства. Ванг показал, что гипотеза якобиана верна для квадратичных уравнений любой размерности. Третий метод состоит в изучении двух кривых над полем и кривой над полем , наиболее интересны особенности этих кривых в бесконечности.Сначала эта проблема носила имя Келлера, как первооткрывателя, затем, поскольку проблема заключается в преобразовании якобиана, ей было дано название «проблема якобиана» или «гипотеза якобиана». Случай, когда рассматривается подробно в конспектах лекций Абхянкара, где он рассматривает галуа случаи: является галуа над . (1.6) Теорема (Басс, Коннелл, Райт, Ягжев) Если гипотеза якобиана выполняется для всех и все такие, что , то гипотеза якобиана выполняется и в общем случае. Объединяя этот результат с результатом, полученным ранее Дружковским, он утверждает, что: (1.8) Следствие (Хабберс) Гипотеза якобиана выполняется для всех вида (2), если [13]. Следовательно, если гипотеза якобиана выполняется для всех полиномиальных отображений (с действительными коэффициентами) , для всех , тогда гипотеза якобиана верна в общем случае.Закончим мы наш исторический обзор перечислением неудачных доказательств гипотезы якобиана. Несмотря на то, что автором не удалось решить проблему якобиана, их работы были значимы для развития данной проблемы и математической теории в целом. Сегре опубликовал три неполных доказательств гипотезы якобиана. Во второй своей работе Сегре сформулировал и доказал Лемму: Если и в C[T] непостоянны по T и генерируют полиномиальную алгебру C[T], тогда ни одна из степеней deg(f) и deg(g) не делит другую. Но в этой работе нет упоминания о том, что Сегре пытался доказать гипотезу якобиана на основании своей леммы, и Абхянкар и Мо воспользовались его наработками для корректного доказательства гипотезы якобиана.В данной работе мы постарались дать полный обзор имеющихся результатов связанных с гипотезой якобиана. Сформулируем Общую гипотезу якобиана: Пусть полиномиальное отображение. В случае непостоянства якобиана имеется полином степени не меньше единицы, который принимает значение 0 в некоторой точке. В случае существуют непостоянные полиномы, принимающие значения одного знака. Доказательство этой гипотезы стало популярным занятием среди математиков в 50 годы 20 века.
План
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ПРОБЛЕМА ЯКОБИАНА
1. Основные понятия
2. Формулировка проблемы якобиана
3. Методы решения проблемы якобиана
4. История гипотезы якобиана
5. Неудавшиеся доказательства гипотезы якобиана
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
