Про ортогоналізацію систем векторів і розкладання типу Вольда у лінійних просторах з внутрішнім добутком - Автореферат

Національна академія наук України ПРО ОРТОГОНАЛІЗАЦІЮ СИСТЕМ ВЕКТОРІВ І РОЗКЛАДАННЯ ТИПУ ВОЛЬДА У ЛІНІЙНИХ ПРОСТОРАХ З ВНУТРІШНІМ ДОБУТКОМТакож у дисертації узагальнюється метод дослідження лінійних операторів у просторах Крейна, здійснений за допомогою елементарних ротацій (операторів Жюліа), на довільні простори з індефінітним внутрішнім добутком. На підставі вивчення властивостей елементарної ротації неперервного оператору у лінійних просторах з внутрішнім добутком дано опис структури всіх максимальних підпросторів, що приводять даний оператор, та індукують унітарний оператор. Ключові слова: лінійний простір з внутрішнім добутком, ортогоналізація систем векторів, розкладання Вольда, напівунітарний оператор, оператор Жюліа, елементарна ротація лінійного оператора, простори, що приводять лінійний оператор. For an operator from a so-called category with quadratic decomposition the theorem of existing of an elementary rotation of this operator from the same category is proved. Keywords: linear inner product spaces, orthogonalization of systems of vectors, Wold decomposition, semiunitary operator, Julia operator, elementary rotation of a linear operator, reducing subspaces.Активний розвиток у сучасному функціональному аналізі методів теорії операторів, діючих у просторах Крейна, та активне застосування цих методів у різних суміжних областях, таких як, наприклад, теорія інтерполяції в класах аналітичних функцій та теорія лінійних систем, робить актуальними наступні питання. Така ситуація виникає, наприклад, при реалізації аналітичних функцій лінійними системами, коли відтворюючі ядра, що будуються по вихідній аналітичної функції, лише при особливих умовах на область аналітичності функції та на саму функцію породжують простір Крейна (у якому діє основний оператор системи); у загальному ж випадку ці відтворюючі ядра можуть породжувати більш загальні простори з внутрішнім добутком. Але, як виявилося зовсім недавно, *-алгебри, які не можуть бути зображені обмеженими операторами у гільбертовому просторі (наприклад, алгебра Гейзенберга), мають нові цікаві серії незвідних зображень у просторах більш загальних, ніж простори Крейна. отримати аналог розкладання Вольда напівунітарного оператору в довільному лінійному просторі з внутрішнім добутком. отримати умови існування розкладання Богнара-Крамлі та елементарної ротації операторів у різних категоріях просторів з внутрішнім добутком; дослідити за допомогою елементарної ротації структуру максимальних підпросторів неперервного оператору, що приводять даний оператор та індукують унітарний оператор (у загальних лінійних просторах з внутрішнім добутком)У розділі 2 обґрунтовується вибір напрямку досліджень, наведено методи вирішення задач і сформульовано основні результати, що досягнуті в цьому напрямку. У розділі 3 під назвою „Ортогоналізація систем векторів у лінійних просторах з індефінітним внутрішнім добутком” вивчається задача ортогоналізації зліченої лінійно незалежної системи векторів. Окрім цього, в підрозділі 3.2 приведено критерій ортогоналізуємості довільної зліченої системи векторів в термінах так званої східчастої невиродженості (теорема 3.3); отримано критерій ортогоналізуємості системи методом Грама-Шмідта в термінах так званої повної східчастої невиродженості (теорема 3.12) і одержані деякі допоміжні другорядні результати, яки є новими та можуть мати самостійне значення. У підрозділі 3.4 приведено: коментарі до отриманих результатів, посилання на деякі роботи з даної тематики (у тому числі на роботи автора) та висновки за результатами розділу 3. У розділі 4 під назвою „Елементарні ротації операторів у категоріях з квадратичним розщепленням” вирішується задача визначення та побудови так званої елементарної ротації (оператора Жюліа) лінійного оператора у довільному ПВД.Таким чином, в дисертаційній роботі проаналізовано геометричні властивості загальних лінійних просторів з індефінітним внутрішнім добутком та властивості лінійних неперервних операторів, діючих у цих просторах. Доведено теорему про існування конструктивного процесу ортогоналізації зліченої лінійно незалежної системи векторів спеціального виду. Уведено визначення матричної категорії, матричної категорії зі спряженням і категорії з квадратичним розщепленням. Доведено теорему про існування у будь-якого оператора з категорії з квадратичним розщепленням елементарної ротації з тієї ж категорії. У випадку правильного рефлексивного банахова простору отримано критерій існування розкладання Вольда напівунітарного оператора в термінах проекційно повних підпросторів зсуву і остаточного підпростору; описано необхідні та достатні умови відтворюваністі векторів по їх коефіцієнтах Фурє.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ