Про аналiтичнiсть модулiв неперервностi дiйсно-аналiтичнихi кусково-аналiтичних функцiй - Автореферат

Національна академія наук України Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукНауковий керівник кандидат фізико-математичних наук, Довгошей Олексій Альфредович, Інститут прикладної математики та механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, профессор, Тригуб Роальд Михайлович, Донецький національний університет, завідувач кафедри математичного аналізу та теорії функцій кандидат фізико-математичних наук, Швєцова Олександра Михайлівна, Донецька державна академія управління, доцент Захист відбудеться “25 ”02 2004 р. о 14 годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради К11.193.02 Інститут прикладної математики та механіки НАН України, 83114, Донецьк, вул. З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики та механіки НАН України, 83114, Донецьк, вул.Класичні модулі неперервності першого і більш високих порядків відносяться до основних структурних характеристик функцій і широко використовуються в різних задачах теорії функцій і чисельного аналізу: наближеному розв‘язку інтегральних і диференціальних рівнянь, чисельному інтегруванні, опису класів і просторів функцій, прямих і обернених задачах апроксимації поліномами і сплайнами, дослідженні K - функціоналів у теорії інтерполяційних просторів, опису компактних множин в різних просторах функцій. Добре відомі характеристичні властивості першого модуля неперервності в C[a, b] : w(d) ® 0 при d ® 0 і напівадитивність при 0<d 1<d 2 . Ще в 1910 році Лебег відзначив, що будь-яка функція із цими властивостями є модулем неперервності деякої неперервної періодичної функції. Нікольський зазначає, що ці властивості характеризують модулі неперервності функцій із C [a, b] і відзначає, що перший модуль неперервності функції з такими властивостями співпадає з вихідною функцією. Перельманом аналогічну характеристику встановлено для першого модуля неперервності дійсно-аналітичної функції та доведено аналітичність першого модуля неперервності таких функцій в нулі. Стєчкіним подано опис функцій, які є L 2-модулями неперервності (для періодичних функцій і функцій із L 2(-?, ?)) і відзначено, що множина функцій, які є L 2-модулями неперервності - це власне підмножина множини модулів неперервності в С.У розділі 1 досліджуються умови аналітичності першого модуля неперервності кусково-аналітичної функції f в нулі. Означення 1.1.1 Модулем неперервності функції називається функція, визначена при наступним правилом: . Означення 1.1.2 Функція називається дійсно-аналітичною на [a, b], якщо вона аналітична у кожній точці x0I[a, b], т.б. може бути представлена у вигляді суми степеневого ряду, що сходиться в деякому околі точки x0. Для будь якого і достатньо малого додатного e функція може бути представлена на формулою Тейлора: , де - кратність нуля функції в точці t0 і . На множині M визначимо функцію d(x) за правилом: На множині визначимо бінарне відношення таким чином: і b поділяє a, або a=?, а .У дисертації досліджено модулі неперервності дійсно-аналітичних і кусково-аналітичних функцій. В процесі дослідження одержані такі результати: - Знайдено необхідні і близькі до них достатні умови, при яких модуль неперервності першого порядку похідної кусково-аналітичної функції буде аналітичним в околі нуля. Доведено, що модуль неперервності довільного порядку дійсно-аналітичної функції є функцією аналітичною на початку координат.

Основний зміст