Применение определенного интеграла к решению геометрических задач - Курсовая работа

Понятие «интеграл» возникло в связи со следующими потребностями: · отыскание функции по ее производной (например, нахождение функции пути по известной функции скорости); Различают несколько видов интегралов: неопределенный, определенный и несобственный интегралы.Функция называется первообразной для функции ) на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству: . Пример: Пусть , Тогда первообразная имеет вид так как Так как производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство Поэтому функция f(x) имеет множество первообразных F(x) C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. Найти общий вид первообразных для функции где Решение: Одной из первообразных будет функция так как Значит, общий вид первообразныхОпределение: Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается называется подынтегральной функцией, а - подынтегральным выражением. 1) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению Доказательство: По определению дифференциала : по определению неопределенного интеграла: следовательно: = что и требовалось доказать 2) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции Доказательство: По определению неопределенного интеграла: , следовательно: = , что и требовалось доказатьЕсли в неопределенном интеграле сделать подстановку , где функция - функция с непрерывной первой производной, то тогда и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что: Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. На начальном этапе используем следующие рассуждения: Применяем в случае, если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции и ее производной , то то эту функцию нужно взять в качестве новой переменной , поскольку дифференциал уже есть.Если функции и имеют непрерывные производные , то свойствам дифференциалов, имеем: После интегрирования левой и правой части этого равенства получим: Эта формула называется формулой интегрирования по частям. В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно. Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида: Здесь - многочлен степени - некоторая константа. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется раз.Если при неограниченном возрастании числа частичных сегментов, причем таком, что длина каждого частичного сегмента стремится к нулю, то сумма стремится к некоторому пределу , не зависящему от вида выбранной системы разбиений и от выбора точек в пределах соответствующих частичных сегментов, то этот предел называется площадью данной криволинейной трапеции (Рис. Рассмотрим функцию f (x ), заданную на отрезке [a, b ]. Если a<x b, то S (x ) - площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку (x, 0) Отметим, что если x = a , то S (a ) = 0, а S (b ) = S (S - площадь всей криволинейной трапеции).Пусть на отрезке [a, b] задана функция f(x). Построение понятия определенного интеграла от этой функции по отрезку [a, b] состоит из трех этапов. Разобьем отрезок [a, b] на части точками так что (Рис. Выберем на каждом отрезке произвольным образом некоторую точку так что (она называется «средней точкой»), и составим Определение: Если существует и он не зависит от способа разбиения отрезка на части, способа выбора средней точки, то говорят, что есть определенный интеграл от функции f(x) по отрезку [a, b].Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования: 2.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: 3.Определенный интеграл от суммы( разности) функций равен сумме( разности) интегралов от этих функций : 4.Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю: 5.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный: 6.Пусть точка c принадлежит отрезку [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме интегралов на промежутках [a,c] и [c,b]: 7.Определенный интеграл от неотрицательной( неположительной) функции всегда больше (меньше) или равен нулю: 2.4 Интеграл с переменным верхним пределом Пусть на отрезке [a, b ] задана непрерывная функция f (x ), тогда для любого x [a, b ] существует функция: называемая интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, то естьФормула называется формулой Ньютона-Лейбница. Сначала покажем, что функция является первообразной функции f(x).

Содержание

Введение

Глава 1. Неопределенный интеграл

1.1 Понятие первообразной

1.2 Таблица первоообразных

1.3 Понятие неопределенного интеграла и его свойства

1.4 Метод подстановки в неопределенном интеграле

1.5 Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле

Глава 2. Определенный интеграл

2.1 Площадь криволинейной трапеции

2.2 Понятие определенного интеграла

2.3 Свойства определенного интеграла

2.4 Понятие интеграла с переменным верхним пределом

2.5 Формула Ньютона-Лейбница

2.6 Замена переменной в определенном интеграле

2.7 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Глава 3. Применение определенного интеграла к решению геометрических задач

3.1 Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

3.2 Площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах

3.3 Объем тела по площади заданного сечения

3.4 Объем тела вращения

3.5 Длина дуги

3.6 Площадь поверхности вращения

Заключение

Список использованной литературы