Узагальнення результатів про примарні розклади ідеалів та модулів на диференціальний випадок та теоретико-скрутову ситуацію. Опис скрут Бленда над некомутативними диференціальними кільцями. Вирішення проблеми про аксіоматизовність класу кілець Прюфера.
Аннотация к работе
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукРобота виконана на кафедрі алгебри і логіки Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України. Науковий керівник: Комарницький Микола Ярославович, доктор фізико-математичних наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри алгебри і логіки. Офіційні опоненти: Кириченко Володимир Васильович, доктор фізико-математичних наук, професор, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри геометрії;У другій половині ХХ століття диференціальна алгебра оформилась у самостійний розділ сучасної алгебри з багатою проблематикою, різноманітними методами дослідження та тісними звязками з різними галузями математики як власне алгебраїчними (в першу чергу, з теорією полів і теорією кілець), так і з іншими, наприклад, теорією диференціальних рівнянь, диференціальною геометрією, алгебраїчною геометрією, алгебраїчною диференціальною геометрією тощо. Класичний примарний розклад - зображення ідеалу кільця (або підмодуля модуля) у вигляді перетину примарних ідеалів (підмодулів) - узагальнює розклад цілого числа у добуток степенів різних простих чисел. Крім того існують інші розклади ідеалів кілець та підмодулів - у вигляді (найкоротшого) перетину скінченного числа ідеалів (підмодулів) певного типу. Оскільки дослідження примарних розкладів в диференціальному випадку обмежується вищезгаданими результатами, залишається актуальним питання про існування диференціальних аналогів примарних розкладів та перенесення класичних результатів на диференціальний випадок. Тематика дисертаційної роботи повязана з дослідженнями кафедри алгебри та логіки Львівського національного університету імені Івана Франка в рамках науково-дослідних державних тем "Класичні проблеми та теоретико-модельні методи в лінійній і диференціальній алгебрі" (номер держреєстрації 0106U005907), що завершилася, та "Імовірнісні та теоретико-модельні методи у випадкових еволюціях, лінійній та диференціальній алгебрі" (номер держреєстрації 0108U004135), яка виконується у даний час.Одинарним диференціальним кільцем (коротко,-кільцем) називають пару , де R - кільце та - диференціювання кільця R. Кільце R разом з множиною диференціювань називається частинним диференціальним кільцем (-кільцем). Ідеал I кільця R називається-ідеалом (диференціальним ідеалом), якщо для кожного . Лівим частинним диференціальним R-модулем (D-модулем) над-кільцем називають пару , де - R-модуль, а - Підмодуль D-модуля M називається D-підмодулем (диференціальним підмодулем), якщо для кожного .Дисертаційна робота присвячена дослідженню примарних (квазіпримарних) розкладів та їх аналогів у диференціальних кільцях і модулях та узагальненню результатів на теоретико-скрутову ситуацію. Дослідження примарних розкладів в диференціальному випадку обмежується результатами Зайденберга, Брауна, Куана, Сато, Фуруя та Новіцкого, але загального підходу до питання про примарні розклади диференціальних ідеалів і модулів не було розроблено. У дисертації введено поняття диференціально первинного та квазіпервинного диференціального підмодулів диференціального модуля, які узагальнюють аналогічні поняття в кільцях, зокрема поняття Sdm-системи диференціального кільця узагальнює поняття dm-системи, яке ввели Хаджієв і Ціальп. Встановлено існування розкладу диференціальних підмодулів на незвідний скінченний перетин квазіпервинних диференціальних підмодулів - "квазіпримарний диференціальний розклад": якщо R - нетерове диференціальне кільце, M - лівий диференціальний скінченно породжений модуль над R, то кожний лівий диференціальних підмодуль N в M можна розкласти в незвідний перетин квазіпримарних підмодулів. Більш загально, показано, що довільний НК-скрут над цілком обмеженим нетеровим диференціальним кільцем є перетином скінченного числа квазіпримарних скрутів, причому цей розклад незвідний.