Геометрический и физический смысл производной. Основные правила дифференцирования. Изучение функции с помощью производной. Достаточные условия убывания и возрастания функции. Использование производной для решения задач по экономической теории.
Государственное казенное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине «Математический Анализ» на тему «Приложение производной в экономической теории» Корюков, студент 1-го курса очной формы обучения экономического факультета, группа Эб02/1303Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу а А поставлен в соответствие определенный элемент в В. Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием).При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f "(x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f(x D x)-f(x);Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x0 Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t > 0. lim Vcp (t) = n(t0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ?t > 0. а lim = ?x/?t = x"(t0) (по определению производной). Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0 Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени. u(t) = x"(t) - скорость, a(f) = n"(t) - ускорение, или a(t) = x"(t). Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении: ? = ?(t) - изменение угла от времени, ? = ?"(t) - угловая скорость, ? = ?"(t) - угловое ускорение, или ? = ?"(t). Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня: m = m(х) - масса, x I [0; l], l - длина стержня, р = m"(х) - линейная плотность.Пусть дана функция . При этом предполагается, что функция не обращается в нуль в точке . Покажем один из способов нахождения производной функции , если очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти производную затруднительно. Так как по первоначальному предположению не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию и вычислим ее производнуюЯсно, что производная функции y =f (x) есть также функция от x: Если функция f "(x) дифференцируема, то ее производная обозначается символом y"" =f "" (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Производная второй производной, т.е. функции y""=f "" (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами . Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д.Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1. Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые знаки. Функция f (x) называется убывающей в интервале (a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) x1. Из этого определения следует, что у убывающей в интервале (a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют разные знаки. Дифференцируемая и возрастающая в интервале (a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрица
План
Содержание
Введение
1. Понятие производной
2. Геометрический смысл производной
3. Физический смысл производной
4. Правила дифференцирования
5. Производные высших порядков
6. Изучение функции с помощью производной
6.1 Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
6.2 Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции
6.3 Правило нахождения экстремума
6.4 Точка перегиба графика функции
6.5 Общая схема исследования функции и построение ее графика
6.6 Касательная и нормаль к плоской кривой
7.Экономическое приложение производной.
7.1Экономическая интерпретация производной
7.2 Применение производной в экономической теории
7.3 Использование производной для решения задач по экономической теории
Заключение
Список литературы
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
