"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов - Дипломная работа

Приближенные вычисления затрагиваются намного меньше, для изучения предлагаются, главным образом, только два алгоритма: округление и нахождение погрешности. [8]: “… отсутствие в школьных программах специального раздела, посвященного приближенным вычислениям, является серьезным дефектом этих программ, весьма неблагоприятно сказывающимся на математической культуре молодежи, оканчивающей среднюю школу”. Существует проблема: приближенные вычисления - самостоятельное и очень интересное направление в математике - не представлено учащимся. Для достижения цели решались следующие задачи: - Определение места приближенных вычислений в математике и школьной программе. В первой главе мы определяем, какое место приближенные вычисления занимают в школьной программе и в математике как науке.При нахождении решений алгебраических и трансцендентных уравнений решается две общих задачи: 1) получить метод, дающий возможность улучшить приближения; Отделив корень, мы получаем возможность, в качестве его приближенного значения взять любое число из выделенного отрезка. За первое приближение корня следует взять значение того конца этого отрезка, на котором знак функции совпадает со знаком ее второй производной. IMG_417a2832-6361-4f42-8f96-9f5e431782d8 , то простой, наибольший по абсолютной величине корень можно приближенно найти из уравнения Пусть х = j(х) и y(х) = j(х). а) графически или методом проб находят первое приближение корня х = х0, х0 = первое приближение корня. б) в правую часть уравнения х = j(х) подставим х0 и тогда х1 = j(х). х1 - второе приближение корня. в) подставляем в правую часть уравнения х = j(х) значение х1 вместо х, х2 = j(х1), х2 - третье приближение корня. г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме: х1 = j(х0);3) В энциклопедии [19, с.249] приближение рассматривается как замена числа, а мало отличающимся от него числом а* - его приближением. В источнике [6, с.17] выделены следующие причины возникновения погрешностей при решении задач: 1) математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания; Типы погрешности, соответствующие этим причинам: 1) неустранимая погрешность - это погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи; Пусть I - точное значение отыскиваемого параметра, I - значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию, I*h - решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений, I*h - приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях. Во многих случаях под термином погрешность того или иного вида понимают не рассмотренные выше разности между приближениями, а некоторые меры близости между ними.Используются понятия округления числа до единиц и приближенное значение с избытком. Но задача подобрана неудачно, так как с практической точки зрения в ней возможно округление лишь к большему числу, независимо от правил округления. “Замену числа 14,8 приближенным значением 15 называют округлением этого числа до единиц” (про округление других чисел вообще ничего не сказано). используется слово “ближе”, но не сказано, что при округлении число должно быть как можно ближе к первоначальному числу; не различается округление и округление только в большую сторону.Вводится понятие - приближенное значение различных величин. После примеров ответы, где значения вычислены точно, а где приближенно. На ее примере вводится понятие абсолютной погрешности приближения. Упражнения на отработку включают следующие задания: в примерах указать, какие числа являются точными значениями величин, а какие приближенными; нахождение абсолютной погрешности приближения. Предлагается задача и ее решение (из решения видно, каким образом оценивать абсолютную погрешность).Таким образом, материал этого учебника совершенно не соответствует материалу, предложенному другими авторами. В каждом учебники название темы включает в себя фразу «Приближенные вычисления». Но содержание тем в трех учебниках разное: Учебник [1] полностью не соответствует другим учебникам. В учебнике [20] для изучения предложены приближенные значения по недостатку и по избытку, округление и абсолютная погрешность. Из этих учебников можно выделить основное содержание: - приближенное значение по недостатку и по избытку;Тема “Приближенные вычисления” в школьной программе вводится в V и VIII классах, причем материал никак не связан между собой. Рассматриваются лишь некоторые задачи, приводящие к приближенным вычислениям, причем не всеми авторами. Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что понятие точности приближения целостно не представлено в школьной математике, а значит определенного места (за исключением некоторых элементов), приближенные вычисления не имеют. Таким образом, в пятом и восьмом классах изучаются одни и те же понятия, и учащимся остается неизвестным, какую роль тема играет в математике. Существуют темы, которые не могут обойтись без понятия точности п

Оглавление

Введение

Глава 1. Приближенные вычисления в математике и школьной программе

1. Математические задачи, приводящие к необходимости развития аппарата приближенных вычислений

2. Тема “Приближенные вычисления” в школьной математике

1. Понятия, связанные с приближенными вычислениями

2. Анализ содержания школьных учебников

3. Приближенные вычисления в школьной математике и их возможное место

Глава 2. Факультативный курс “Приближенные вычисления” для 7-8 классов

1. Факультативные курсы как формы дополнительного образования школьников

2. Цели, задачи, структура факультативного курса

3. Описание содержания курса

4. Апробация курса анализ результатов

Глава 3. Творческая работа как форма дополнительного образования школьников

1. Творческая деятельность и математическое творчество

2. “Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений” - тема творческой работы

Заключение

Литература

Приложения

В школьной программе наиболее полно представлены понятия числа, функции. Приближенные вычисления затрагиваются намного меньше, для изучения предлагаются, главным образом, только два алгоритма: округление и нахождение погрешности. Необходимость изучения приближенных вычислений подчеркивал Брадис В.М. [8]: “… отсутствие в школьных программах специального раздела, посвященного приближенным вычислениям, является серьезным дефектом этих программ, весьма неблагоприятно сказывающимся на математической культуре молодежи, оканчивающей среднюю школу”. Школьникам тема представлена как вспомогательная, не важная, не представляющая интереса для изучения. Существует проблема: приближенные вычисления - самостоятельное и очень интересное направление в математике - не представлено учащимся. Расширить представления школьников об этой области математики, показать, что приближенные вычисления являются отдельным направлением, обогатить исследовательский опыт учащихся возможно в рамках дополнительных образовательных форм, например, в форме факультативного курса. Поэтому целью дипломной работы является разработка факультативного курса и выявление учебно-исследовательских задач на материале приближенных вычислений.

Для достижения цели решались следующие задачи: - Определение места приближенных вычислений в математике и школьной программе. Для этого был проделан анализ методической литературы, анализ научной литературы, посвященной этим вопросам, анализ школьных учебников.

- Подбор материал к факультативному курсу.

- Выделение исследовательских задач, выводящих учеников на понятия, связанные с приближенными вычислениями.

- Изучение возможности введения материала в форме учебно-исследовательской задачи.

Дипломная работа состоит из трех глав, введения, заключения, списка литературы из 29 наименований и пяти приложений.

В первой главе мы определяем, какое место приближенные вычисления занимают в школьной программе и в математике как науке. В результате проделанного анализа научной и методической литературы, были найдены направления, в которых без приближенных вычислений обойтись практически невозможно: 1) нахождение численного решения прикладных задач (например, изучение явлений природы);

2) приближенное нахождение иррациональных чисел; нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений;

3) приближенные формулы;

4) приближение функции.

В результате анализа учебной литературы было выяснено, что эти направления в школьной программе не представлены. Существует несоответствие представления приближенных вычислений в школьной программе с той ролью, которую они играют как в теоретической, так и в прикладной математике. В школе дети учат два алгоритма (округление и нахождение погрешности), основное содержание приближенных вычислений не рассматривается. Мы обнаружили связь теоретической математики со школьной программой. Приближенное решение уравнений, в частности, квадратных, может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний.

Вторая глава посвящена разработке факультативного курса. К задачам факультативного курса относятся: 1. Расширение представлений учащихся о математике.

2. Создание условий школьникам для проведения самостоятельного учебного исследования.

Чтобы разработать факультативный курс был проанализирован материал, из научных задач отобраны подходящие для школьников, выбран адекватный возраст. Факультативный курс ориентирован на школьников 7 - 8 классов. Выбор возраста объясняется особенностью школьной программы.

Разработанный факультативный курс состоит из двух блоков.

В первом блоке изучаются базовые понятия, выделенные в результате анализа учебной литературы. Базовые понятия вводятся на основе логики введения понятий приближенных вычислений, разработанной Ковалевой С. А. [15]. Во втором блоке предлагаются учебно-исследовательские задачи: - “Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении”. Ученикам предлагается несколько примеров с несколькими знаками после запятой. В задании нужно найти сумму и разность с точностью до десятых двумя способами, а после сравнить полученные результаты. Учащимся предлагается обсудить свои способы решения (возможны два способа). При нахождении значения первым способом нужно сначала округлить слагаемые до десятых, а потом сложить или отнять. При нахождении значения вторым способом сначала складывают или отнимают, а потом округляют до десятых. В результате получаются разные ответы. Возникает вопрос, почему так произошло. Проанализировав каждое округление, ученики должны прийти к выводу, что произошло накопление погрешности.

- “Погрешность произведения”. В задаче нужно произвести измерения, найти погрешность каждого измерения, а затем погрешность произведения. Далее нужно найти погрешность произведения не находя погрешности каждого измерения. В результате нужно прийти к формуле для нахождения погрешности произведения.

- “Приближенное решение уравнений”. Предлагается решить квадратное уравнение разными методами: подбора, последовательных приближений, половинного деления отрезка. В задаче формулируются проблемы. Какой из методов: подбора или последовательных приближений, наиболее эффективен? Какой из методов: подбора, последовательных приближений, половинного деления, наиболее эффективен? Любое ли уравнение можно решить методом последовательных приближений? Для каких уравнений метод работает?

Факультативный курс был опробован в лицее № 3 г. Красноярска, в 7 классе, в течение трех месяцев.

У разработчиков курса возникла гипотеза, что темами творческих работ могут быть исследовательские задачи из приближенных вычислений. Третья глава посвящена творческой задаче. Здесь приведен опыт написания творческой работы по теме: ”Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений”. В работе из нескольких способов для приближенного нахождения корней квадратного уравнения был выделен наиболее эффективный. Затем было обнаружено, что способ работает не для всех уравнений, после было найдено условие, при соблюдении которого способ работает. Работа была выполнена в рамках “Школы молодого ученого” при Гимназии № 1 “Универс”, защищена на школьной конференции. В работе была отмечена грамотность проделанного исследования.

Таким образом, ряд задач связанных с приближенными вычислениями, можно вводить в рамках факультативных курсов и предлагать в качестве тем творческих работ, что позволит расширить представление учащихся и откроет новую область для исследования.