Приближенное решение плоской краевой задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника - Статья

Кубанский государственный университет Приближенное решение плоской краевой задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источникаВ работе c помощью методики, основанной на дискретизации исходной задачи по времени и методе базисных потенциалов, построено приближенное решение второй двумерной задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника. Приведен общий вид приближенного решения данной задачи. В данной работе методом, описанным в [8], будет построено в явном аналитическом виде приближенное решение второй краевой задачи для уравнения с нелинейно зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника. Плоская вторая краевая задача, описывающая диффузию в изотропной среде в случае, когда коэффициент диффузии и функция источника зависят от концентрации диффундирующего вещества, имеет вид: (1.1) где: - концентрация диффундирующего вещества, ; Будем дополнительно требовать выполнения условия непроницаемости границы для диффузии: , (2.1) оно позволяет использовать для приближенного решения нижеуказанной вспомогательной задачи (см.С помощью методики, основанной на дискретизации по времени исходной задачи и методе базисных потенциалов, предложенной в [8], построено приближенное решение нелинейной краевой задачи (1.1).

В работе c помощью методики, основанной на дискретизации исходной задачи по времени и методе базисных потенциалов, построено приближенное решение второй двумерной задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника. Приведен общий вид приближенного решения данной задачи. На конкретном примере показана сходимость приближенного решения задачи к точному

Ключевые слова: метод базисных потенциалов, краевые задачи с нелинейными уравнениями, диффузия в изотропной среде, нелинейная функция источника

Известно, что коэффициенты диффузии в жидкостях могут существенным образом зависеть от концентрации диффундирующего вещества [1]. Часто коэффициент диффузии линейно зависит от концентрации, но в некоторых случаях (например, в водных растворах метанола, этанола и ацетона) с увеличением концентрации он вначале уменьшается, а затем - возрастает [1, 2]. Также и функция источника в жидкости может зависеть от концентрации диффундирующего вещества. Например, с увеличением концентрации вещества в окружающей источник среде величина его выбросов может уменьшаться.

Для описания процесса диффузии при вышеуказанных условиях используются краевые задачи для квазилинейных уравнений с дивергентной главной частью [3-6]. Условия существования и единственности классических решений краевых задач для таких уравнений приведены в [6]. Однако их численное решение наталкивается на значительные трудности [7]. В данной работе методом, описанным в [8], будет построено в явном аналитическом виде приближенное решение второй краевой задачи для уравнения с нелинейно зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника.

1. Постановка задачи

Задача 1. Плоская вторая краевая задача, описывающая диффузию в изотропной среде в случае, когда коэффициент диффузии и функция источника зависят от концентрации диффундирующего вещества, имеет вид: (1.1) где: - концентрация диффундирующего вещества, ;

- коэффициент диффузии, ;

- функция источника, ;

- ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей ;

- дифференцирование по направлению внешней к нормали.

Будем предполагать, что , , , , (1.2) базисный потенциал уравнение диффузия

В этом случае классическое решение (1.1) существует и единственно [6].

Цель данной работы - с помощью методики, предложенной в [8], построить приближенное решение задачи (1.1).

2. Методика построения приближенного решения задачи 1

Будем дополнительно требовать выполнения условия непроницаемости границы для диффузии: , (2.1) оно позволяет использовать для приближенного решения нижеуказанной вспомогательной задачи (см. (2.3)) метод базисных потенциалов.

Процесс построения приближенного решения задачи (1.1) разобьем на два этапа [8].

2.1 Проведем дискретизацию задачи (1.1) по времени.

Пусть - приближение решения задачи (1.1) в момент времени , , , . Используя неявную аппроксимационную схему, запишем для определения , , следующие задачи: (2.2)

2.2 Построим приближенное решение задачи (2.2).

Рассмотрим вспомогательную задачу: (2.3) где .

Приближенное решение (2.3) будем искать методом точечных (базисных) потенциалов [9]. Известно, что решение задачи (2.3) определено с точностью до постоянного слагаемого. Это слагаемое определим, исходя из условия изменения массы примеси: (2.4) которое вытекает из соотношения (2.1).

В дальнейшем будем считать, что в приближенном решении (2.3) постоянное слагаемое скорректировано и удовлетворяет условию (2.4).

Начальное приближение правой части уравнения в (2.3) выбираем из ( ). Тогда при заданном граничном условии решение (2.3) при i = 1 существует и принадлежит ([10]). Последующие приближения , , в правой части уравнения из (2.3) определяются соотношением: (2.5)

На основании (1.2) для из (2.5), при заданном граничном условии, решение (2.3) также существует и принадлежит ([10]).

Согласно формуле Грина и (2.3) для из (2.5) должно выполняться соотношение: (2.6)

При необходимости корректируем с помощью аддитивной постоянной так, чтобы выполнялось условие (2.6).

Процесс построения приближенных решений задачи (2.3) для приближений правой части уравнения (2.3), определяемых (2.5), завершаем для заданного на lk 1 - й итерации, если выполнится неравенство

.

В этом случае полагаем

.

Используя результаты [9], приведем аналитический вид приближенного решения задачи (2.2): (2.7) где ; - коэффициенты, определяющие приближение неизвестной плотности логарифмического потенциала двойного слоя : ; ;

.

3. Пример

Построим вышеописанным методом (с использованием среды Borland Delphi 7 и вычислительных библиотек компилятора Compaq Fortran) приближенное решение задачи (1.1) при , .

Пусть область представляет собой круг единичного радиуса с центром в начале координат: ;

;

;

, шаг дискретизации по времени ; , , .

Значения были вычислены с помощью (2.5) (во всех узлах интегрирования по ). В качестве первого приближения правой части уравнения в (2.3) для каждого временного слоя был выбран лапласиан решения, построенный на предыдущем временном слое: , Где

, .

Приближенное решение (2.2) (см. (2.7)) в данном случае имеет вид: (3.1) где , .

Графики построенного приближенного (3.1) решения задачи (1.1) для различных моментов времени приведены на рисунках 1-6. Норма в невязки уравнения в (2.2) имеет порядок 10-2.

(Количество итераций: 7; норма в невязки: 0,07)

Рис.1. Приближенное решение задачи 1 для t=0,1

(Количество итераций: 7; норма в невязки: 0,06)

Рис. 2. Приближенное решение задачи 1 для t=0,2

(Количество итераций: 4; норма в невязки: 0,07)

Рис. 3. Приближенное решение задачи 1 для t=0,3

(Количество итераций: 2; норма в невязки: 0,04)

Рис. 4. Приближенное решение задачи 1 для t=0,4

(Количество итераций: 1; норма в невязки: 0,03)

Рис. 5. Приближенное решение задачи 1 для t=0,5

(Количество итераций: 1; норма в невязки: 0,03)

Рис. 6. Приближенное решение задачи 1 для t=1

С помощью методики, основанной на дискретизации по времени исходной задачи и методе базисных потенциалов, предложенной в [8], построено приближенное решение нелинейной краевой задачи (1.1).

Приближенное решение (3.1) задачи (1.1) быстро сходится на рассматриваемом интервале времени: максимум модуля невязки порядка 10-2 достигается за 1-7 итераций (причем, для относительно большого шага дискретизации по времени: ).

1. Бретшнайдер, С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета / С. Бретшнайдер. - М. - Л.: Химия, 1966. - 535 с.

2. Шервуд, Т. Массопередача / Т. Шервуд. - М.: Химия, 1982. - 695 с.

3. Полянин, А.Д., Зайцев, В.Ф., Справочник по нелинейным уравнениям математической физики / А.Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2002. - 432 с.

4. Годунов, С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1979 - 391 с.

5. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Наука, 1977. - 664 с.

6. Ладыженская, О.А., Солонников, В.А., Уральцева, Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1967. - 736 с.

7. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

8. Захаров М.Ю., Семенчин Е.А. Построение приближенного решения краевой задачи, описывающей рассеяние примеси в атмосфере, методом точечных потенциалов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. с. 20-27.

9. Захаров М.Ю. Обратная задача определения плотности логарифмического потенциала двойного слоя и применение к решению краевой задачи // Численный анализ: теория, приложения, программы. М.: МГУ, 1999. С.113-120.

10. Ладыженская, О.А., Уральцева, Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973. - 576 с.

Размещено на .ru