Понятие частной производной. Вид полного дифференциала. Теоретические основы преобразования выражений с помощью дифференциалов. Таблица производных основных элементарных функций. Значение аргумента, правила дифференцирования функций, решение задач.
Преобразование выражений, содержащих дифференциалыМного тысячелетий тому назад в связи с практическими потребностями счета предметов, измерения расстояний, площадей фигур и объемов тел возникли понятия числа, длины, площади, объема. На основе этих понятий развивалась элементарная математика. Но уже в элементарной математике возникли задачи, решение которых средствами этой науки оказалось невозможным. Но не только эти задачи привели к созданию новых методов в математике. Все эти практические проблемы привели к созданию новой области в математике - математического анализа.Пусть мы имеем функцию y=f(x), определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента x из этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение. Таким образом: при значении аргумента x будем иметь y=f(x), при значении аргумента x ?x будем иметь y ?y=f(x ?x). Заметим, что в общем случае для каждого значения x производная имеет определенное значение, т.е. производная является также функцией от x. Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.Пусть y=f(x) - функция, непрерывная при рассматриваемых значениях х и имеющая производную Итак, бесконечно малое приращение дифференцируемой функции у=f(х) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: 1) величины, пропорциональной бесконечно малому приращению независимой переменной , и 2) бесконечно малой величины более высокого порядка, чем . Но теперь оказывается, что если функция f(x) и не является линейной, то при условии, что она имеет производную, все же существует такой коэффициент пропорциональности f "(x), что величина f "(х) хотя и не равна точно приращению , но отличается от него на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем ; при этом коэффициент пропорциональности равен f "(x), значит, он зависит от значения х. Справедливо и обратное предложение: если для данного значения х приращение , где - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем , то функция y=f(x) имеет производную и . Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем .Таблица производных основных элементарных функцийТак как дифференциал получается из производной умножением ее на дифференциал не зависимой переменной, то, зная производные основных элементов функций, можем составить без всяких затруднений таблицу дифференциалов этих функций. В соответствии с правилами отыскания производным, придем к аналогичным правилам для дифференциалов. а) так как (u v … w) "= u" v " … w", то, обе части равенства на dx получим d (u v … w) = du dv … dw. б) так как (uv) "= u"v uv ", то, умножая обе части равенства на dx, получим d(uv) = v du u dv, в частности d(Cu) = C du. в) так как () "= , то, умножая обе части равенства на dx, получим d () = . Рассмотрим свойство дифференциала функции, вытекающие из правила дифференцирования сложной функции. но (x) dx = du, и значит, dy = f" (u) du, т. е. дифференциал dy имеет такой же вид, как если бы величина u была независимой переменной. Всегда можно, не интересуясь природой аргумента функции, записать ее дифференциал в одном и том же виде.Прямолинейное движение происходит в соответствии с формулой Найти скорость и ускорение движения. Скорость a(t)=v(t)=(S) "" = 2 - ускорение. производный элементарный аргумент дифференциал Вычислить дифференциал от функции y = x3-x4 найдем производную от функции: y?= (x3-x4)? = (x3)?-(x4)? = 3x2-4x3 теперь получим дифференциал df = (3x2-4x3)·dx. Найти дифференциал второго порядка функции y(x) = x2 arccos xИзучив материал в количестве десяти источников были поставлены и решены задачи исследования и достигнута цель работы. В первой главе представлен материал, раскрывающий понятия производной, дифференциала. Во второй задаче нашли скорость и ускорение, применяя производные. В третьей задаче вычислили дифференциал от искомой функции.
План
Содержание
Введение
Глава 1. Теоретические основы преобразование выражений с помощью дифференциалов
1.1 Понятие производной, понятие частной производной
1.2 Определение дифференциала. Связь между производной и дифференциалом. Вид полного дифференциала
1.3 Таблица производных основных элементарных функций. Правила дифференцирования функций
1.4 Свойства дифференциала
Глава 2. Решение задач
Заключение
Литература
Введение
Много тысячелетий тому назад в связи с практическими потребностями счета предметов, измерения расстояний, площадей фигур и объемов тел возникли понятия числа, длины, площади, объема. На основе этих понятий развивалась элементарная математика. Но уже в элементарной математике возникли задачи, решение которых средствами этой науки оказалось невозможным. Но не только эти задачи привели к созданию новых методов в математике. Развитие мореплавания и техники, потребовало более тщательного изучения астрономии и механики. Все эти практические проблемы привели к созданию новой области в математике - математического анализа.
Тема моей работы "Преобразование выражений, содержащих дифференциалы".
Рассматриваемая тема является одним из разделов курса математического анализа. Широко применяется в таких науках как алгебра, физика, геометрия, механика.
Цель работы: изучить теоретические основы производной и дифференциала, научиться решать задачи на дифференцирование функции.
Задачи: 1. Подобрать материал по теме "Дифференциал", раскрыть понятия производная и дифференциал.
2. Подобрать и решить задачи, в которых нужно преобразовывать выражения с дифференциалами.
3. Оформить курсовую работу.
Работа состоит из введения, теоритической части, состоящей из четырех пунктов, практической части, заключения и списка используемой литературы.
Вывод
Изучив материал в количестве десяти источников были поставлены и решены задачи исследования и достигнута цель работы. В первой главе представлен материал, раскрывающий понятия производной, дифференциала.
Во второй главе преобразование выражений, содержащих дифференциалы. В первой задаче мы продифференцировали заданную функцию. Во второй задаче нашли скорость и ускорение, применяя производные. В третьей задаче вычислили дифференциал от искомой функции. В четвертой задаче нашли дифференциал второго порядка. В пятой задаче нашли дифференциал от функции.
Чтобы достигнуть цели, мне пришлось решить следующие задачи.
1. Подобрать и изучить материал по этой теме.
2. Из изученного материала выбрать главное.
3. Систематизировать основной материал в форме реферата.
4. Научиться решать задачи по теме.
Список литературы
1) Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа: 18-е изд./ Издательство "Просвещение", 2012. - 464 с.
2) Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. 14-е изд./ Издательство "Лань", 2008. - 736 с.
3) Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: 16-е изд./ Издательство "Наука", 1969. - 440 с.
