Предварительный анализ динамики курса доллара за 2013 год - Курсовая работа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра экономической кибернетики и теории вероятностей Предварительный анализ динамики курса доллара за 2013 годВременные ряды представляют собой последовательность наблюдений в последовательные равноотстоящие моменты времени. Ставятся следующие задачи: изучить основные аспекты теории временного ряда; провести сглаживание простыми и взвешенными скользящими средними; проверить гипотезу о наличии тренда; оценить адекватность выбранной модели. Под временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) X в последовательные равноотстоящие моменты времени. Средний уровень ряда определяется по-разному для моментных и интервальных рядов, при этом следует обратить внимание на то, какие - равноотстоящие или не равноотстоящие во времени - уровни наблюдаются в ряду динамики. В случае интервальных рядов динамики с не равноотстоящим во времени уровнями для расчета среднего уровня используется формула взвешенной средней арифметической, где в качестве весовых коэффициентов используется продолжительность интервалов времени между уровнями(число периодов времени, при которых значение уровня не изменяется) [2].Были изучены основные понятия временных рядов: среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции для лагов абсолютный прирост, темп роста, темп прироста. Проведен анализ ряда данных на практике: исследовали курс доллара к белорусскому рублю.

Временные ряды играют одну из главных ролей в статистике. Временные ряды представляют собой последовательность наблюдений в последовательные равноотстоящие моменты времени. Под это определения попадают уже знакомые нам понятия: стоимость ценных бумаг, вспышки на солнце, курсы иностранных валют и др.

Ставятся следующие задачи: изучить основные аспекты теории временного ряда; провести сглаживание простыми и взвешенными скользящими средними; проверить гипотезу о наличии тренда; оценить адекватность выбранной модели.

В данном курсовом проекте подробно остановимся на анализе курса доллара к белорусскому рублю.

Показания курса снимаются с 2010 по 2013, за каждый понедельник (с 04.01.2013 по 02.12.2013). временный ряд скользящий аналитический

1.1 Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа

Анализ временных радов представляет собой самостоятельную, весьма обширную и одну из наиболее интенсивно развивающихся областей математической статистики.

Под временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) X в последовательные равноотстоящие моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать xt (t = 1,2,...,n) где п - число уровней [1].

Следует обратить внимание на то, что в отличие от е, первые три составляющие (компоненты) являются закономерными, неслучайными [1].

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Отметим основные этапы анализа временных рядов: • графическое представление и описание поведения временного ряда;

• выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих);

• сглаживание и фильтрация (удаление низко- или высокочастотных составляющих временного ряда);

• исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания;

• прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;

• исследование взаимосвязи между различными временными рядами.[1]

1.2 Важнейшие показатели изменения уравнений рядов динамики

При анализе изменений явления во времени на практике часто определяю средние показатели, в том числе средний уровень ряда. Средний уровень - это важная обобщающая характеристика для рядов динамики, изменение которых стабилизировалось в исследуемом периоде и при этом подвержено ощутимым случайным колебаниям. Например, средний уровень урожайности за ряд лет лучше опишет урожайность, чем уровень одного года, значение которого формируется под действием множества случайных факторов.

В то же время, если в исследуемом периоде выделяются неоднородные этапы, в течение которых условия развития существенно менялись, то нецелесообразно рассчитывать общую среднюю, следует построить анализ динамики по отдельным этапам.

Средний уровень ряда определяется по-разному для моментных и интервальных рядов, при этом следует обратить внимание на то, какие - равноотстоящие или не равноотстоящие во времени - уровни наблюдаются в ряду динамики.

В случае интервальных рядов динамики с не равноотстоящим во времени уровнями для расчета среднего уровня используется формула взвешенной средней арифметической, где в качестве весовых коэффициентов используется продолжительность интервалов времени между уровнями(число периодов времени, при которых значение уровня не изменяется) [2].

Для моментных рядов динамики с равноотстоящими во времени уровнями средний уровень (так называемая средняя хронологическая).

На практике для количественной оценки динамики явлений широко применяются следующие основные аналитические показатели: •абсолютные приросты;

•темпы роста;

•темпы прироста.

Причем каждый из указанных показателей может быть трех видов: •цепной;

•базисный;

•средний.

В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда. Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными. В качестве базы сравнения выбирается либо начальный уровень динамического ряда, либо уровень, с которого начинается новый этап развития

Если сравнение осуществляется при переменной базе и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.

Абсолютный прирост равен разности двух сравниваемых уровней и характеризует изменение показателя за определенный промежуток времени.

Средний абсолютный прирост - это обобщающая характеристика скорости изменения исследуемого показателя во времени(скоростью будем называть прирост в единицу времени).

Темп роста всегда положителен. Если темп роста равен 100%, то значение уровня не изменилось, если меньше 100%, то значение уровня понизилось, больше 100 % - повысилось.

Средний темп роста - обобщающая характеристика динамики, отражающая интенсивность изменения уровней ряда. Он показывает, сколько в среднем процентов последующий уровень составляет от предыдущего на всем периоде наблюдения. Этот показатель рассчитывается по формуле средней геометрической из цепных темпов роста: Темп прироста К характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в процентах темп прироста показывает, насколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же периоды времени показывает, что реальных экономических процессах замедление темпов прироста не всегда сопровождается уменьшением абсолютных приростов. Поэтому на практике часто проводят сопоставление этих показателей. Для этого рассчитывают абсолютное значение одного процента прироста, определяемое как отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста: В таблице 1.1 приведены выражения для вычисления рассмотренных аналитических показателей динамики [2].

Таблица 1.1 - Основные показатели динамики

Вид показателя Абсолютный прирост Темп роста,% Темп прироста,%

Цепной

Базисный

Средний

1.3 Компоненты временных рядов

В практике исследования динамики явлений и прогнозирования принято считать, что значения уровней временных рядов могут содержать следующие компоненты (составные части или структурообразующие элементы): •тренд;

•сезонную компоненту;

•циклическую компоненту;

•случайную компоненту.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия [2].

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто возникают более или менее регулярные колебания - периодические составляющие рядов динамики.

Если период колебаний не превышает одного года, то их называю сезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические условия. Примером могут служить колебания цен на сельскохозяйственную продукцию, в частности на картофель. Из года в год наблюдается снижение цен в период после уборки урожая и последующее повышение цен, связанное с необходимостью хранения продукции. Своего «пика» цены достигают перед следующим урожаем. Таким образом, в колебаниях цен прослеживается устойчивая годовая периодичность.

Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например, увеличение закупок в предпраздничный период, увеличение платежей в конце квартала и т.д.

При большем периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить циклы деловой активности, исследованные Кондратьевым, демографические, инвестиционные и другие циклы. В экономических временных рядах редко представляется возможность для выделения и дальнейшего анализа циклической компоненты, так как ряды динамики экономических показателей часто оказываются слишком «короткими» для проведения такого исследования. Хорошо изучены циклические составляющие в рядах динамики, относящихся к естественным наукам. Например, по многолетним наблюдениям установлена цикличность солнечной активности(с периодом колебаний примерно в 11лет).

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента.

Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента, на два вида: •факторы резкого, внезапного действия;

•текущие факторы.

Факторы первого вида(например, стихийные бедствия, эпидемии, война, кризис и т.д.), как правило, вызывают более значительные отклонения. Иногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.

Факторы второго вида вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин.

Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие [2].

Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной, если в виде произведения - мультипликативной; так же можно выделить еще один вид модели - смешанного типа.

Графики месячных временных рядов производства промышленной продукции наглядно демонстрируют устойчивые сезонные колебания при снижающемся тренде, причем на последнем участке темпы падения производства заметно снижаются.

Рисунок 1.1 - Месячная динамика производства нефти и угля в натуральном выражении

Рисунок 1.2 - Месячная динамика производства электроэнергии

Отметим, что не обязательно в процессе формирования значений уровней каждого временного ряда должны участвовать одновременно все компоненты. В изменении значений одного показателя может отсутствовать трендовая, другого - периодические составляющие, динамика третьего показателя может описываться лишь случайной составляющей. Однако наличие случайной, нерегулярной составляющей предполагается во всех случаях [2].

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем более что современные программные средства предоставляют для этого пользователю большие возможности. Иногда на стадии графического анализа можно определить характер сезонных колебаний: аддитивный или мультипликативный. Отличительная особенность аддитивной модели заключается в том, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения от тренда или среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени.

На Рисунке 1.3 приведена динамика объема пассажирских перевозок, выполненных на авиалиниях Великобритании. На графике отчетливо прослеживаются сезонные колебания, наслаивающиеся на монотонно возрастающий тренд. Ежегодно повторяющиеся пики активности в авиаперевозках приходятся на праздники (рождественские и пасхальные каникулы), а так же на время летних отпусков. Амплитуда сезонных колебаний возрастает с ростом объемов перевозок, что приводит к выводу о мультипликативном характере сезонности.

Рисунок 1.3 - Месячная динамика перевозок авиапассажиров за период с 1949 по 1960 гг.

2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних

2.1 Применение простых скользящих средних

При анализе рядов динамики возникает важная задача: определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике показателя, в других ситуациях она может не просматриваться изза ощутимых случайных колебаний. Например, в отдельные моменты времени сильные колебания в курсах акций могут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого показателя.

На практике для обнаружения общей тенденции часто используют простой прием - укрупнение интервалов. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд месячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены суммированием уровней исходного ряда либо могут представлять средние значения [2].

При выявлении тенденции развития используется распространенный прием - сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиеся на различные подходы: аналитический и алгоритмический.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую. Например, на основе визуального и содержательного экономического анализа динамики временного ряда предполагается, что трендовая составляющая может быть описана с помощью показательной функции [2].

Тогда на следующем этапе будет проведена статистическая оценка неизвестных коэффициентов модели, а затем определены сглаженные значения уровней временного ряда путем подстановки соответствующего значения временного параметра в полученное уравнение (заданное в явном аналитическом виде). В алгоритмическом подходе отказываются от ограничительного допущения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описания динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой заданный момент времени t. Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов.

1. Определяют длину интервала сглаживания l, включающего в себя l последовательных уровней ряда(l <n). При этом надо иметь ввиду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания «скользит» по ряду с шагом, равным l .

3. Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения. При этом удобно брать длину интервала сглаживания l в виде нечетного числа l=2р 1, так как в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала [2].

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

Процедуры скользящих средних опираются на известную теорему Вейерштрасса, согласно которой «любая гладкая функция при самых общих допущениях может быть локально(т.е. в ограниченном интервале изменения ее аргумента t) представлена алгебраическим полиномом подходящей степени» [2].

При реализации простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке проводится по прямой(по полиному первого порядка). Таким образом, осуществляется аппроксимация неслучайной составляющей с помощью линейной функции времени.

Рассмотрим активный участок с длиной интервала сглаживания l=2р 1. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т.е. будем рассматривать моменты времени:.

Неизвестные коэффициенты линейной модели подбираются таким образом, что бы минимизировать критерий метода наименьших квадратов (МНК).

Очевидно, что за счет выполненного переноса начала координат , а сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэффициентом . Из первого уравнения системы получаем выражение для этого коэффициента: Таким образом, в качестве сглаженного значения в центральной точке активного участка следует брать среднее арифметическое из уровней ряда, образующих этот участок. Полученный вывод - обоснование ранее рассмотренного алгоритма сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний на практике часто требуется использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания, равной 4 или 12, но при этом не будет выполняться условие нечетности. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами: Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать 4- и 12-членную скользящую среднюю.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда на поминает прямую. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, то целесообразно использовать взвешенную скользящую среднюю.

2.2 Использование взвешенных скользящих средних

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами ,а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке проводится по прямой(полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего второго или третьего. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней [2].

В Таблице.2.1 представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания(при сглаживании по полиному второго или третьего порядка).

Таблица 2.1 - Весовые коэффицменты для взвешенной скользящей средней

Длина интервала сглаживания Весовые коэффициенты

5

7

9

11

13

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, так как они могут быть симметрично отражены.

Отметим важные свойства весовых коэффициентов: 1) они симметричны относительно центрального уровня;

2) сумма весов су четом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице;

3) наличие как положительных, так и отрицательных весов позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

3. Аналитическое выравнивание временных рядов. Моделирование тенденции развития

3.1 Проверка гипотезы о наличии тренда

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем более что современные программные средства предоставляют для этого пользователю большие возможности. При этом не всегда четко прослеживается присутствие тренда во временном ряду. В этих случаях прежде чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.

Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда, т.е. по существу на статистической проверке гипотезы.

Рассмотрим критерий серий, часто используемый на практике для проверки «наличия - отсутствия» тренда. Он имеет две модификации: •критерий серий, основанный на медиане выборки;

•критерий «восходящих и нисходящих» серий.

Применение критерия серий, основанного на медиане выборки, может быть представлено в виде следующей последовательности шагов.

1. Из исходного ряда с уровнями, образуется ранжированный (вариационный) ряд, где - наименьшее значение из уровней исходного ряда

2. Определяется медиана (Me) этого вариационного ряда. В случае нечетного значения длины ряда, в противном случае.

3. Образуется последовательность, из плюсов и минусов по следующему правилу: Если значение уровня исходного ряда у, равно медиане, то это значение пропускается. Очевидно, что общее число знаков « » и «-» заранее не известно. Индекс i может принимать значения 1,2,..., к, где

4. Подсчитывается v(n) - число серий в совокупности ,где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией.

Определяется - протяженность самой длинной серии.

5. Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким.

Рассмотрим теперь применение критерия «восходящих и нисхдящих» серий для проверки гипотезы .

1. На первом шаге, как и в предыдущем варианте критерия, образуется последовательность знаков - плюсов и минусов, однако в данном случае правила образования этой последовательности иные.

Для временного ряда с уровнями, определяется вспомогательная последовательность, исходя из следующих условий: В случае, когда последующее наблюдение окажется равным предыдущему, учитывается только одно наблюдение. Таким образом, элементы этой последовательности принимают значение « », если, последующее значение уровня ряда больше предыдущего, и «-» - если меньше. Общее число знаков « » и «-» заранее не известно.

2. Подсчитывается общее число серий и протяженность самой длинной серии аналогично тому, как это делалось в предыдущем варианте критерия. Очевидно, что при этом каждая серия, состоящая из плюсов, соответствует возрастанию уровней ряда («восходящая» серия), а последовательность минусов - их убыванию («нисходящая» серия).

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то нулевая гипотеза отвергается (следовательно, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей).

Кроме рассмотренных подходов в литературе описаны и другие критерии, отличающиеся друг от друга мощностью, сложностью математического аппарата, например, критерий квадратов последовательных разностей (критерий Аббе), метод Фостера-Стюарта, метод проверки разностей средних уровней и др.

3.2 Оценка адекватности выбранной модели

Вопрос о возможности применения построенных моделей в целях анализа и прогнозирования явления может быть решен только после проверки адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу.

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе остаточной компоненты. Остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду).

Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, неподверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда, содержащей трендовую и случайную компоненты.

При использовании кривых роста вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если остаточная последовательность (ряд остатков) представляет собой случайную компоненту ряда.

Поэтому при оценке «качества» модели проверяют, удовлетворяет ли остаточная последовательность следующим свойствам: •случайности колебаний уровней ряда;

•соответствию распределения остаточной компоненты нормальному закону с нулевым математическим ожиданием;

•независимости значений уровней ряда остатков между собой.

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции.

Наиболее распространен подход, опирающийся на критерий Дарбина-Уотсона. Тест Дарбина-Уотсона связан с проверкой гипотезы об отсутствии автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда.

Применение на практике критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении расчетного значения статистики d с пороговыми, граничными значениями ,(u(upper) - индекс верхней границы, l(low) - индекс нижней границы).

Граничные значения зависящие от числа наблюдений и, числа объясняющих переменных в модели, уровня значимости ?, находятся по таблицам (авторами критерия составлены таблицы для ?=0,05,?=0,02 5 и ?=0,01).

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий.

Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Пусть альтернативная гипотеза состоит в наличии в остатках положительной автокорреляции первого порядка.

Тогда при сравнении расчетного значения статистики d (d<2) c du и dl, возможны следующие варианты.

1. Если d<dt , то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается (с вероятностью ошибки, равной ?) в пользу гипотезы о положительной автокорреляции.

2. Если d>du, то гипотеза не отвергается.

3. Если dl2).

При этом возможны следующие варианты.

1) Если 4-d<dl, то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается (с вероятностью ошибки, равной ?) в пользу гипотезы об отрицательной автокорреляции.

2) Если 4-d>du, то гипотеза не отвергается.

3) Если , то нельзя сделать определенного вывода по имеющимся исходным данным.

Этот критерий нельзя использовать, если среди объясняющих переменных содержатся лагированные значения результативного показателя (например, он неприменим к моделям авторегрессии).

4. Анализ курса доллара по отношению к белорусскому рублю

Проведем анализ курса доллара к белорусскому рублю. Рассчитаем основные показатели временного ряда: среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции для лагов абсолютный прирост, темп роста, темп прироста. Проведем сглаживание ряда простейшими и взвешенными скользящими средними. Проверим гипотезу о наличии тренда, с помощью критерия серий. Выведем уравнение тренда. Оценим адекватность выбранной модели, с помощью критерия Дарбина - Уотсона.

Курс фиксируется по понедельникам в период с 04.01.2010 по 02.12.2013 год включительно.

4.1 Расчет основных показателей

Объединим в одну таблицу выборку и суммы, необходимые для дальнейших расчетов. На Рисунке 4.1 представлена сама выборка и некоторые промежуточные суммы.

Рисунок 4.1-Данные

Заметно, что при увеличении лага ? соответствующие значения выборочных коэффициентов монотонно убывают. Из чего можно сделать вывод, что с ростом лага ? взаимосвязь членов ряда ослабевает.

По данным выборки рассчитаем: абсолютный прирост, темп роста и темп прироста, рассчитанные показатели собраны в таблицу, представленную на Рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 - Абсолютный прирост, темп роста и темп прироста

Стоит отметить, что в качестве базисного уровня ряда берем начальный уровень ряда.

4.2 Сглаживание простыми и взвешенными скользящими средними

Проведем сглаживание временного ряда методом скользящих средних и взвешенных скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m=5 (недель). Результаты представим в таблице Рисунка 4.3 и на графике Рисунка 4.4.

Рисунок 4.3 - Простые и взвешенные скользящие средние

Рисунок 4.4 - График фактических данных и простых и взвешенных скользящих средних

4.3 Проверка гипотезы о наличии тренда

Воспользуемся критерием серий.

Выдвигается гипотеза, о случайности ряда. Далее смотрим: если следующее значение выборки больше предыдущего ставим « », если меньше- «-», на Рисунке 4.5 показано формирование серий.

Рисунок 4.5 - Формирование серий

4.4 Оценка адекватности выбранной модели

Проведем оценку адекватности при помощи теста Дарбина-Уотсона.

Выдвигаются гипотезы: : об отсутствии автокорреляции в остатках, полученных после построения тренда (уровень значимости ?=0,05).

: о наличии автокорреляции в остатках, полученных после построения тренда.

Составим ряд остатков: отклонение фактических уровней временного ряда от расчетных: Расчет некоторых промежуточных сумм представлен на Рисунке 4.6.

Рисунок 4.6 - Ряд остатков и некоторые промежуточные компоненты

Проведя расчеты получили d статистику: В данном случае статистика на столько мала, что вывод очевиден: гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается в пользу о положительной автокорреляции. Это подтверждает, что линейная модель плохо согласуется с динамикой анализируемого временного ряда.

Были изучены основные понятия временных рядов: среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции для лагов абсолютный прирост, темп роста, темп прироста. Проведен анализ ряда данных на практике: исследовали курс доллара к белорусскому рублю.

Проделано сглаживание временного ряда с помощью простых и взвешенных скользящих средних.

Для проверки гипотезы о наличии тренда использовали критерий серий. Выяснили, что тренд у курса доллара наблюдается.

Построен прогноз курса доллара на 9.12.2013.

При проверке выбранной модели на адекватность с помощью критерия Дарбина-Уотсона, получили очень малое значение статистики , что говорит о том, что линейная модель плохо согласуется с динамикой анализируемого временного ряда.

1 Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2004.-573с.

2 Дуброва Т. А. Статистические методы прогнозирования: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.-206 с.

Размещено на .ur