Представлення квантових алгебр фізичних симетрій та їх застосування до опису мас адронів - Автореферат

Національна Академія наук УкраїниНауковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Гаврилик Олександр Михайлович, Інститут теоретичної фізики ім.М. М. Боголюбова НАН України, відділ математичних методів в теоретичній фізиці. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук НІКІТІН Анатолій Глібович, Інститут математики НАН України, зав. Захист відбудеться "_28_"__жовтня_ 1999 року об _11_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.191.01 в Інституті теоретичної фізики ім.М. М. З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту теоретичної фізики ім.М. М.В дисертаційній роботі вивчаються представлення q-деформацій алгебр Лі груп обертань, евклідових та унітарних груп, що відповідають перетворенням n-вимірного простору. Квантові алгебри, які відповідають унітарним групам Лі, застосовані до знаходження нових (більш точних) масових співвідношень для октетних баріонів JP=1/2 . Ці нові обєкти привернули до себе увагу як математиків, так і фізиків-теоретиків завдяки їх застосовності у різноманітних розділах математики (теорія базисних гіпергеометричних функцій, теорія вузлів та зачеплень, некомутативна геометрія та ін.) та теоретичної фізики (теорія інтегровних систем, конформна і топологічна теорії поля, точно розвязні моделі статистичної фізики, опис нестандартних статистик, феноменологія ротаційного спектру двохатомних молекул та деформованих ядер та ін.). Розвиток цієї галузі відбувається в двох, однаково важливих, напрямках: математичному (вивчення різних деформацій алгебр симетрій, їх представлень та реалізацій) та фізичному (пошук нових застосувань квантових алгебр та квантових груп в конкретних фізичних задачах). Застосування Гавриликом, Качуриком і Тертичним квантових алгебр Uq (sun) та Uq (sun,1) (замість sun та sun,1) в ролі алгебр внутрішньої (ароматової) та динамічної симетрій дало можливість, при n=4, одержати для баріонів JP=1/2 правило сум для їх мас, що є істотньо точнішим емпірично, ніж відоме правило сум Гел-Мана-Окубо.

За темою дисертаційної роботи виконано 8 робіт, пять з яких опубліковані у вигляді статей у наукових журналах, а три видані як матеріали конференцій.

Структура та обсяг дисертації.

Дисертаційна робота викладена на 113 сторінках; складається із Вступу, трьох Розділів, Висновків, Списку використаних джерел з 77 найменувань та Додатка (4 стор.).

Основний зміст

У Вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації і сформульовано мету роботи. Висвітлено хід розвитку теорії представлень квантових алгебр у звязку з їх застосуванням у фізиці. Дано огляд літератури з цих питань і визначено місце досліджень, які розглядаються в дисертації, серед інших робіт. Подано загальну характеристику дисертації, викладено короткий зміст кожного розділу, сформульовано основні положення, які виносяться на захист.

У першому розділі - "q-Деформація Uq (son) алгебри Лі so (n) групи обертань" - розглядаються алгебри, що є нестандартними q-деформаціями алгебр Лі групи обертань SO (n) та групи рухів ISO (n) n-вимірного простору, відповідно, та їх представлення. адрон симетрія алгебра деформація

В підрозділі 1.1 розглянуто асоціативну алгебру Uq (son), яка є нестандартною деформацією (відмінною від деформації Дрінфельда-Джімбо) універсальної огортуючої алгебри U (so (n,C)) алгебри Лі so (n,C), та описані її скінченновимірні представлення класичного типу.

Алгебра Uq (son) - це комплексна асоціативна алгебра з n-1 породжуючимими елементами I21, I32,., In,n-1, які задовільняють визначальним співвідношенням

Ij,j-12 Ij-1,j-2 Ij-1,j-2 Ij,j-12 - [2] q Ij,j-1 Ij-1,j-2 Ij,j-1 = - Ij-1,j-2, (1)

Ij-1,j-22Ij,j-1 Ij,j-1Ij-1,j-22 - [2] q Ij-1,j-2 Ij,j-1Ij-1,j-2 = - Ij,j-1, (2)

[Ii, i-1, Ij,j-1] = 0, якщо | i-j | >1, (3) де через

[x] q = [x] = (qx - q-x) / (q-q-1), x I C (4) позначено q-число, що відповідає числу x, а q - параметр деформації (QIC, q?0,±1). Коли q®1 ("класична" границя), то q-число [x] q переходить в x.

Для того, щоб описати базис в Uq (son), розглянемо наступні елементи в цій алгебрі (вважаємо, що k > l 1, n?k,l?1) q1/2Il 1,l Ik,l 1 - q-1/2Ik,l 1 Il 1,l ? Ik,l (5) разом з ототожненням Ik 1,k ? I k 1,k? I k 1,k. Введемо лексикографічний порядок для цих елементів у відповідності до їх індексів. Будемо називати деякий елемент з Uq (son) впорядкованим мономом, якщо він є добутком неспадаючої послідовності елементів I. . В дисертаційній роботі доводиться (Теорема 1.1), що набір всіх впорядкованих мономів є базисом Пуанкаре-Бірхгофа-Вітта в алгебрі Uq (son).

Скінченновимірні представлення алгебр Uq (son), які відповідають представленням so (n,C), (представлення класичного типу) у q-аналозі формалізму Гельфанда-Цетліна (ГЦ) задаються сигнатурами - наборами mn із [n/2] компонент m1,n, m2,n,., m [n/2],n (тут через [n/2] позначено цілу частину n/2, які задовільняють умові домінантності, відповідно, для n=2p 1 та n=2p. За базис простору представлення ми візьмемо q-аналог базиса ГЦ з елементами, позначеними схемами ГЦ де компоненти mn та mn-1 задовільняють відомим умовам галуження. Базисний елемент, позначений схемою xn, позначимо як |xn >.

Оператор I2p 1,2p представлення, заданого набором m2p 1, АЛГЕБРИUQ (so2p 1) діє на базисні елементи ГЦ, позначених схемами (6), відповідно до (тут b=x2p-1) і оператор I2p,2р-1представлення, заданого набором m2p, алгебри Uq (so2p) діє як (тут b=x2p)

В цих формулах mn j означає, що компоненту mj,n в сигнатурі mn потрібно замінити на mj,n 1; матричні елементи Aj2p, Bj2p-1, C2p-1 даються виразами, які залежать від q-факторів, таких як [li,2p 1 lj,2p], [li,2p-lj,2p-1], [li,2p lj,2p-1] та ін. Зауважимо, що матричні елементи Bj2p-1 та C2p-1 є "мінімальною" деформацією "класичних" (тобто при q=1) матричних елементів. Однак, завдяки наявності нетривіального множника d (lj,2p) в Aj2p, який переходить в 1/2 при q->1, ці матричні елементи відрізняються від "мінімальної" деформації.

В дисертаційній роботі доводиться (Теорема 1.2), що оператори Ik,k-1, k=2,.,n, представлення з сигнатурою mn, які задані у q-аналозі базису ГЦ (6) формулами дії (7) - (8) задовільняють співвідношенням (1) - (3) алгебри Uq (son) і визначають скінченновимірні представлення цієї алгебри. Коли q не є коренем з одиниці, ці представлення є незвідними.

Крім того, якщо q=eh, h IR, ці оператори визначають *-представлення дійсної "компактної" форми Uq (son).

У підрозділі 1.2 знайдено формулу для квадратичних елементів Казиміра алгебри Uq (son), яка є явно симетричною відносно заміни параметра деформації q->q-1. Дано явно елементи Казиміра вищих порядків для алгебр Uq (son), n=4,5,6. Обраховано власні значення операторів Казиміра для алгебр Uq (so (3,C)) та Uq (so (4,C)) у представленнях, описаних Теоремою 1.2.

Наведемо, для прикладу, явні вирази для вищих (ніж квадратичні) елементів Казиміра алгебр Uq (son), n=4,5. Нехай (див. (5))

X i,j,k,l =q-1 Iji Ilk - Iki Ilj q Ikj Ili

Тоді для алгебри Uq (so (4,C)) маємо: C (4) =X1,2,3,4. А для алгебри Uq (so (5,C)) маємо: У підрозділі 1.3 методом контракції Іноню-Вігнера, застосованим до алгебри Uq (so (n 1,C)), отримано (в білінійному формулюванні) алгебру Uq (ison), яка є нестандартною q-деформацією алгебри Лі iso (n,C) групи рухів n-вимірного простору. Дано явний вираз для квадратичних елементів Казиміра неоднорідної алгебри Uq (ison). Доведено теорему (аналогічну Теоремі 1.2) про нескінченновимірні представлення алгебри Uq (ison), які є q-деформацією нескінченновимірних представлень алгебри Лі iso (n,C). Дано умови на параметр деформації, при яких ці представлення є *-представленнями дійсної "компактної" форми Uq (ison) (Теорема 1.3).

Другий розділ дисертації, який називається "Квантові алгебри Uq (un) i Uq (un,1) та їх застосування у фізиці адронів", присвячено вивченню незвідних та *-представлень "некомпактної" дійсної форми Uq (un,1) квантової алгебри Uq (gl (n 1,C)), їх застосуванню до знаходження нових правил сум для мас адронів на основі використання ідеї про q-деформовану ароматову симетрію адронів.

У підрозділі 2.1 дано доведення того, що q-аналог основної неунітарної серії дійсно задає представлення квантової алгебри Uq (un,1) (Теорема 2.1). Це дозволило, за допомогою процедури аналогічної до недеформованого випадка, класифікувати незвідні представлення з множини незвідних представлень основної серії (Теорема 2.2) та незвідних компонент звідних представлень основної серії (Теорема 2.3). Виділено всі незвідні *-представлення алгебри Uq (un,1) (Теорема 2.4, Теорема 2.5).

Підрозділ 2.2 присвячений подальшій розробці підходу, що використовує ідею про q-деформованість ароматових симетрій адронів для знаходження нових правил сум для мас баріонів JP=1/2 . Приймається, що баріони класифікуються по представленнях алгебри внутрішньої симетрії Uq (u3), а в ролі алгебри динамічної симетрії використано квантові "компактні" та "некомпактні" алгебри Uq (u5) та Uq (u4,1). Масовий оператор, який порушує внутрішню симетрію, вибирається у вигляді аналогічному до масового оператора недеформованого випадка. На основі класифікації унітарних представлень алгебр: "компактної" Uq (u5) та "некомпактної" Uq (u4,1) (унітарні представлення останньої описані в Теоремі 2.4 з підрозділу 2.1), знайдено q-аналог відомого правила сум Гел-Мана-Окубо для мас баріонів JP=1/2 . Вибрано спосіб фіксації параметра q нулями певного полінома; він дає ряд правил сум для мас цих баріонів. Найкраще з них, MN [3] q_7/ [2] q_7 MX= [3] q_7/ [2] q_7 ML MS, де [2] q_7=2 cos (p/7), [3] q_7= [2] q_72-1, має точність (при підстановці емпіричних даних для мас баріонів JP=1/2 ) приблизно 0.07 %. Для порівняння, точність масового співвідношення Гел-Мана-Окубо 2 MN 2 MX= 3 ML MS є »0.58 %.

У підрозділі 2.3, на прикладі баріонів JP=1/2 та JP=3/2 , показано, що використання квантових алгебр в ролі алгебр ароматової симетрії ефективно приводить до врахування нелінійних (неполіноміальних) по порушенню унітарної SU (3) - симетрії вкладів в маси цих баріонів. Дано порівняння розкладу Окубо (повного розкладу по порушенню SU (3)) з першим порядком по порушенню Uq (su3), розкладеному за параметром h (q=eh) в околі h=0 ("в околі" недеформованої алгебри su3). Показано, що ці два розклади узгоджені, хоча і не тотожні.

Проілюструємо це на декуплеті баріонів JP=3/2 . У динамічному представленні зі старшою вагою [p 4,p,p,p,p] алгебри Uq (u5), для мас ізомультиплетів баріонів маємо вирази (нехтуючи електромагнітним розщепленням мас в кожному ізомультиплеті): MD = M10 b, MS * = M10 a [2] b, MX* = M10 [2] a [3] b, MW = M10 [3] a [4] b, де M10, a та b - деякі константи. Оскільки кожний ізомультиплет з декуплету баріонів однозначно фіксується значенням дивності (або гіперзаряду - Y), всі ці вирази можуть бути записаними однією масовою формулою

MB_i*= M10 a [1-Y] b [2-Y], де Bi* пробігає чотири різних ізомультиплети в 10-плеті. Із визначення q-чисел (4) випливає, що залежність обох величин [1-Y], [2-Y] від гіперзаряду Y істотньо нелінійна (і стає лінійною тільки в класичній границі q - > 1), а це відповідає врахуванню нелінійних по порушенню унітарної SU (3) - симетрії вкладів в маси баріонів JP=3/2 .

У підрозділі 2.4 на основі техніки q-тензорних операторів побудовано масовий оператор, q-коваріантний відносно квантової алгебри Uq (u3) (він відрізняється від масового оператора, що використовувався в попередніх розглядах). В результаті отримано масове співвідношення [2] (q-1 MN q MX) = [3] ML MS, яке, на відміну від попередніх співвідношень для мас, більш просте і, крім того, не залежить від представлення динамічної алгебри симетрії. Однак, його узгодження з емпіричними масами баріонів потребує "підгоночної" процедури для фіксації параметра деформації q, тоді як попередні масові співвідношення допускали процедуру "жорсткої" фіксації параметра q нулями цілком певного полінома.

Третій розділ дисертаційної роботи має назву "Еніонні реалізації квантових алгебр та їх застосування". В ньому дано короткий огляд необхідного матеріалу (відомого з інших робіт) стосовно еніонів: визначення еніонних осциляторів на двовимірній гратці та еніонних реалізацій квантових алгебр Uq (sun). Далі описано нові результати про застосування еніонних реалізацій квантових унітарних алгебр до знаходження масових співвідношень для векторних мезонів та баріонів JP=3/2 .

Дамо визначення еніонних операторів. Розглянемо двовимірну гратку з квадратними комірками. Кожному вузлу x цієї гратки поставимо у відповідність оператори знищення та народження ci (x), ci (x), i=1,.,n, (які задовільняють канонічним антикомутаційним співвідношенням) n різних мод (сортів) ферміонних збуджень. Оператор безпорядку вводиться наступним чином: де Qx (x, y) - кутова функція, і сумування проводиться по всіх вузлах y гратки, таких що y?x, n називається параметром статистики. Еніонні осцилятори ai (x), i=1,.,n, визначаються за формулами ai (x) = Ki (x) ci (x) (сумування по i відсутнє). За допомогою введених еніонних операторів в роботі Фрау, Лерди і Шуто побудовано реалізацію квантової алгебри Uq (sun). При цьому параметр статистики n звязується з параметром деформації q через співвідношення q=eipn. Детальний огляд цього матеріалу дано в підрозділі 3.1.

У підрозділі 3.2 дисертації розглянуто оригінальну квазіеніонну (квазіеніони - деяка спеціально сконструйована модифікація еніонів) реалізацію багатопараметричної деформації Uq; s_1,s_2,.,s_{n-1} (gl (n)) алгебри Лі gl (n). Ця багатопараметрична деформація може бути отримана за допомогою твістінг-процедури із стандартної деформації Uq (gln). У частковому випадку s1=s2=. =sn-1= s алгебра Uq; s (1),s (2),.,s (n-1) (gl (n)) переходить у алгебру Uq,s (gl (n)), яку раніше розглядав Такеучі (остання при s=1 переходить в Uq (gl (n)). Квазіеніонні оператори народження та знищення, які приймають участь у побудові реалізації алгебри Uq; s1,s2,.,s (n-1) (gl (n)), відрізняються від звичайних еніонних операторів тим, що різні їх моди не є незалежними (кореляція різних мод характеризується параметрами s1,s2,.,sn-1, які явно входять в перестановочні співвідношення для їх квазіеніонних операторів).

При переході від феноменологічної моделі, що використовується в підрозділі 2.2, до більш послідовної квантово-польової моделі може виявитися корисним розгляд еніонних реалізацій квантових алгебр. В підрозділі 3.3 дисертації розглянуто застосування еніонної реалізації квантових алгебр до знаходження масових співвідношень для векторних мезонів та баріонів JP=3/2 . Для цього спочатку явно побудовані базиси у просторах необхідних представлень квантових алгебр і знайдено відповідність між адронами та станами у фоківському просторі еніонних збуджень. Наведемо таку відповідність для деяких адронів: На основі масового оператора в еніонній реалізації проведено обчислення виразів для мас адронів. Результати співпали з тими, що раніше були отримані на основі формалізму Гельфанда-Цетліна. Тим самим доведено застосовність еніонних реалізацій квантових унітарних алгебр до отримання масових співвідношень для адронів.

Нарешті, у Висновках наведено основні результати дисертаційної роботи та рекомендації щодо їх використання.

У Додатку, який називається "Доведення співвідношення (1.25)", дається детальне доведення співвідношення (1.25), яке використовується при доведенні Теореми 1.2 з першого розділу дисертації.

Висновки

1. Для алгебр Uq (so (n)) та Uq (iso (n)), що є нестандартними q-деформаціямиалгебр Лі, відповідно, групи обертань SO (n) та групи рухів ISO (n) n-вимірного простору, для n>5 дано доведення того, що оператори, які є квазі-мінімальною деформацією операторів класичних представлень в базисі Гельфанда-Цетліна, дійсно задають представлення цих q-алгебр. Цей результат є ще одним підтвердженням застосовності q-аналога формалізму Гельфанда-Цетліна до побудови представлень q-деформованих алгебр.

2. Знайдено у явному вигляді елементи Казиміра вищих порядків для алгебр Uq (so (n)), n=4,5,6. У випадку алгебри Uq (so (4,C)) обчислено власні значення операторів Казиміра.

3. Дано доведення того, що q-аналог основної неунітарної серії дійсно задає представлення квантової алгебри Uq (u (n,1)). Це дозволило, за допомогою процедури аналогічної до недеформованого випадка, знайти всі незвідні та *-представлення квантової алгебри Uq (u (n,1)).

4. На основі класифікації незвідних *-представлень алгебри Uq (u (4,1)) та скінченновимірних незвідних представлень алгебри Uq (u (5)) отримано ряд нових масових співвідношень для баріонів JP=1/2 , що є q-аналогами масового співвідношення Гел-Мана та Окубо. Серед них, при порівнянні з емпіричними значеннями мас баріонів, знайдено співвідношення, яке має точність 0.07 % (співвідношення Гел-Мана-Окубо, як відомо, має точність 0.58 %). В цьому підході є важливим те, що параметр деформації q "жорстко" фіксувався нулем цілком певного полінома.

5. На прикладі баріонів JP=1/2 та JP=3/2 показано, що використання квантових алгебр в ролі алгебр ароматової симетрії ефективно приводить до врахування нелінійних (неполіноміальних) вкладів по порушенню унітарної SU (3) - симетрії. Дано порівняння розкладу Окубо (повного розкладу по порушенню SU (3)) з першим порядком по порушенню Uq (su (3)), розкладеному по параметру h (q=eh) в околі h=0 ("в околі" класичної su3). Показано, що ці два розклади хоча і не співпадають тотожньо, але є узгодженими.

6. Побудовано масовий оператор, який (з точки зору його тензорних властивостей) є точним q-аналогом класичного масового оператора. Співвідношення для мас баріонів з октету, яке отримується при використанні цього масового оператора, має зовсім простий вигляд і, крім того, має властивість універсальності (незалежність від вибору представлення алгебри динамічної симетрії). З іншого боку, для цього співвідношення немає іншої процедури фіксації параметра деформації, крім процедури "підгонки".

7. Показано, що використання спеціально сконструйованих "квазіеніонних" операторів дає змогу побудувати реалізацію багатопараметричної деформації Uq; s (1),s (2),.,s (n-1) (gl (n)) алгебри Лі gl (n). Додаткові параметри деформації s (1),s (2),.,s (n-1) явно входять в перестановочні співвідношення для квазіеніонних операторів різних сортів.

8. Побудовано стани у фоківському просторі еніонних збуджень, що відповідають векторним мезонам та баріонам JP=3/2 . На основі використання масового оператора в еніонній реалізації знайдено масові співвідношення для цих адронів. Вони співпали з отриманими раніше у формалізмі Гельфанда-Цетліна. Тим самим доведено застосовність еніонних реалізацій квантових унітарних алгебр до отримання масових співвідношень для адронів; це може виявитися корисним при переході від чисто феноменологічної моделі, що була описана в підрозділі 2.2 дисертації, до більш послідовної квантово-польової моделі.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. Multiparameter deformations of gl (n) algebra in terms of anyonic oscillators // J. Nonlin. Math. Phys. - 1996. - V.3. - P.426-431.

2. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. q-deformed algebras Uq (son) and their representations // Methods of Funct. Anal. and Topology. - 1997. - V.3. - N 4. - P.51-63.

3. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. Representations of the nonstandard algebras Uq (so (n)) and Uq (so (n-1,1)) in Gelfand-Tsetlin basis // Укр. Фіз. Журн. - 1998. - Т.43. - С.791-797.

4. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. Quantum groups as flavor symmetries: account of nonpolynomial SU (3) - breaking effects in baryon masses // Укр. Фіз. Журн. - 1998. - Т.43. С.1526-1533.

5. Гроза В.А., Іоргов М.З., Клімик А.У. Про представлення квантової алгебри Uq (un,1) // Доповіді НАН України. - 1999. - N 2. - С.91-95.

6. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. q-Deformed inhomogeneous algebras Uq (ison) and their representations // Proc. Int. Conf. Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics II. - Kiev. - 1997. - V.2. - P.384-392.

7. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. Nonstandard q-deformation of the Euclidean algebras and their representations // Proc. Int. Conf. Non-Euclidean geometry in modern physics. - Uzhgorod. - 1997. - P.56-63.

8. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z., Klimyk A. U. Nonstandard deformation Uq (son): the imbedding Uq (son) Uq (sln) and representations // Proc. Int. Conf. Symmetries in Science X (Bregenz, Austria, 1997). - New York: Plenum. - 1998. - P.121-133.

9. Іоргов М.З. Представлення квантових алгебр фізичних симетрій та їх застосування до опису мас адронів. } - Рукопис.