Исследование цепных дробей, раскрытие их свойств. Особенности разложения действительных чисел. Анализ погрешностей, возникших в результате раскладывания. Применение теории цепных дробей для решения алгебраических задач, доказательство теоремы Лагранжа.
В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач. Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств: где неполным частным последовательных делений соответствуют остатки с условием b> > >…> >0, а соответствует остаток 0. Системе равенств (1) соответствует равносильная система из которой последовательной заменой каждой из дробей и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде: = В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными.Эти дроби называют подходящими дробями. Так как , то , и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении подходящих дробей: больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка; Итак, подходящие дроби нечетного порядка увеличиваются с ростом порядка, а подходящие дроби четного порядка убывают с ростом порядка; при этом все подходящие дроби нечетного порядка меньше всех подходящих дробей четного порядка, то есть <<…< <…< <…< <при любых k и . Доказательство: Если , подходящие дроби и , из которых одна четная, а другая - нечетная, лежат по разные стороны от (так как точное значение непрерывной дроби находится между двумя соседними подходящими дробями), и поэтому расстояние от до любой из них меньше длины интервала, образованного этими двумя подходящими дробями, то есть Округляя десятичное выражение действительного до n-го знака после запятой, мы тем самым представляем приближенно дробью со знаменателем , причем погрешность , если же подходящая дробь к , то , так что при сколько-нибудь значительном q величина во много раз меньше, чем .Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля: ().
Введение
Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.
Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.
Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.
Вывод
Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике.
Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида ax by=c
Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.
Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля: ( ).
Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.
В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.
Список литературы
1. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.
2. А.А. Бухштаб. Теория чисел. М, «Просвещение», 96.
Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, «Просвещение», 84.
И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, «Наука», 72.
А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 84.
Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 93.
Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.
Математическая энциклопедия, том V, М, «Советская энциклопедия», 85.
Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
