Практическое применение теории массового обслуживания - Курсовая работа

Министерство образования и науки Украины Херсонский государственный технический университет Выполнил: студентка группы 3ПР2Теория массового обслуживания (ТМО) представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей производительности технических устройств или систем массового обслуживания (СМО), предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживания заявок. Сам собой напрашивается ответ: прибор должен обслуживать в среднем 6 заявок в час или каждую заявку за 10 мин. Конечно, осторожный проектировщик всегда сделает небольшой запас, скажем, в 10% на всякие непредвиденные обстоятельства и предложит производительность прибора, соответствующую обслуживания одной заявки за 9 мин. Итак, ответ готов: прибор должен обслуживать заявку в среднем за 9 мин. При этом заявки перед прибором не должны накапливаться, а сам прибор в среднем 6 мин каждый час будет простаивать.После того как самолет, прибывший в соответствии с определенным распределением входящего потока, приземляется, он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих обслуживания (продвижение по дорожке к месту выгрузки). Здесь же часто производится обслуживание с приоритетом, когда разрешается посадка снижающемуся самолету раньше, чем взлет ожидающемуся. Иногда порядок обслуживания таков, что прибывающий самолет присоединяется к очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, а затем выбор самолета на посадку производится случайным образом (одна из форм обслуживания с приоритетом). В промежутке времени между получением приоритета на посадку и командой "посадку разрешаю" самолет выходит из эшелона и направляется к аэродрому. Самолет, ожидающий посадки, может, находится в положении, близком к критическому (в это время другие самолеты будут действительно в критическом положении), он может принять решение присоединится к более короткой очереди в ближайшем аэропорту и приземлится там.Обозначения, которые представляют наиболее подходящими для СМО с параллельно "включенными" приборами, давно уже унифицированы и имеют следующую структуру: (a/b/c): (d/e/f), где символы a, b, c, d, e и f ассоциированны с конкретными наиболее существенными элементами модельного представления процессов массового обслуживания и интерпретируются следующим образом: а-распределение моментов поступлений заявок на обслуживание; Кроме того, независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (клиентов), т.е. клиенты, не попавшие в блок ожидания, вынуждены обслуживаться в другом месте. При выполнении условий стационарности нас будут интересовать следующие операционные характеристики СМО: Pn-вероятность того, что в системе находится n клиентов (заявок на обслуживание); Однако в тех случаях, когда частота поступлений заявок на обслуживание равняется l, но не все заявки имеют возможность попасть в обслуживающую систему (например, изза недостаточно большой вместимости блока ожидания), соотношения (1) необходимо видоизменить путем такого нового определения параметра l, которое позволило бы учесть только действительно "допускаемые" в систему требования. Вероятность поступления в систему n(n>0) требований в интервале t h [обозначим эту вероятность через pn(t h)] складывается из следующих вероятностей: а) в конце временного интервала t в системе находится n требований, а Р в интервале h не происходит ни поступлений, ни выбытий б) в конце временного интервала t в системе находится (n-1) требований, а Р в интервале h происходит одно поступление, но не происходитвыбытий в) в конце временного интервала t в системе находится (n 1) требований, а Р в интервале h не происходит не одного поступления, но происходит одно выбытие.Во-первых, можно модифицировать структурно-функциональные характеристики обслуживающей системы так, чтобы чисто логическим путем достичь желательных операционных показателей этой системы и одновременно сделать рассматриваемую СМО поддающейся анализу одной из стандартных математических моделей.В связи с накоплением данных, характеризующих процесс массового обслуживания, как правило возникают следующие вопросы: Когда осуществлять наблюдение за системой? Сбор данных о входном и выходных потоках в СМО может осуществляться одним из указанных ниже способов, а именно: а) путем регистрации временных интервалов между последовательными поступлениями заявок на обслуживание и последовательными выходами обслуженных "клиентов" из системы; б) путем подсчета числа поступивших в единицу времени заявок на обслуживание и числа выходящих из системы (в единицу времени) обслуженных клиентов. Первый способ ориентирован на определение распределений временных отрезков между последовательными поступлениями требований и распределений продолжительностей обслуживания, тогда как второй способ позволяет получить распределение числа прибытий в систему заявок на обслуживание и числа выбытий обслуженных "к

Содержание

Введение

1. Основные элементы ТМО

2. Виды систем массового обслуживания

2.1 Системы массового обслуживания при наличии входного и выходного потоков

2.1.1 Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/?/?)

2.1.2 Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/N/?)

2.1.3 Система массового обслуживания типа (M/M/c):(GD/?/?)

3. Принятие решений с использованием моделей массового обслуживания

3.1 Методы разработки математических моделей в СМО

3.2 Подготовка исходных данных и проверка статистических гипотез

3.3 Модели со стоимостными характеристиками

3.3.1 Оптимальная скорость обслуживания m

3.3.2 Оптимальное число обслуживающих приборов

3.4 Моделирование с учетом предпочтительности уровня обслуживания

3.5 Линейный способ решения СМО

Заключение

Список использованной литературы

Приложение А. Решение СМО методом ЗЛП

Список сокращений

теория массовый обслуживание математический

Теория массового обслуживания (ТМО) представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей производительности технических устройств или систем массового обслуживания (СМО), предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживания заявок.

Для того чтобы понять необходимость ТМО и те последствия, к которым приводит игнорирование случайностей при расчете показателей обслуживания СМО, рассмотрим простейший пример. Пусть на некоторое обслуживающее устройство или обслуживающий прибор поступает поток заявок. Допустим, путем длительных наблюдений мы установили, что среднее число поступающих на прибор заявок постоянно и равно 6 в час. Спрашивается, какую производительность должен иметь прибор, чтобы успешно справляться с поступающим на него потоком заявок? Сам собой напрашивается ответ: прибор должен обслуживать в среднем 6 заявок в час или каждую заявку за 10 мин. Конечно, осторожный проектировщик всегда сделает небольшой запас, скажем, в 10% на всякие непредвиденные обстоятельства и предложит производительность прибора, соответствующую обслуживания одной заявки за 9 мин. Дальнейшее увеличение производительности прибора вряд ли целесообразно, поскольку тогда он будет большую долю времени простаивать. Итак, ответ готов: прибор должен обслуживать заявку в среднем за 9 мин. При этом заявки перед прибором не должны накапливаться, а сам прибор в среднем 6 мин каждый час будет простаивать.

Однако на практике весьма быстро было подмечено следующее обстоятельство. Да, прибор действительно был свободен 10% времени. Но в очень многих случаях перед прибором возникала весьма значительные очереди. В частности, при пуассоновском входящем потоке и экспоненциальном обслуживании при таких исходных данных в среднем перед обслуживающим прибором скапливается очередь из 8 заявок. Поиски причин этого явления выявили и виновника: им оказался именно элемент случайности в поступлении и обслуживании заявок.

Дальнейший ход событий предсказать не трудно. Раз виноваты случайные явления, а случайными явлениями занимается теория вероятности, то необходимо для анализа СМО применять методы этой дисциплины. Таким образом, сформировался еще один раздел теории ве6роятности - теория массового обслуживания. Родоначальником ТМО считается сотрудник Копенгагенской телефонной компании известный датский ученный А. К. Эрланг, который первым предположил для описания процессов, происходящих в СМО, использовать марковские процессы с дискретным (конечным или счетным) множеством состояний. Это нетрудно понять, если учесть, что основным практическим потребителем результатов ТМО были телефонные сети, а к настоящему времени добавились сети передачи данных, информационно-вычислительные сети и т.д.

Пик своего развития ТМО достигла в 50-70-е годы. Затем интерес к ТМО несколько ослабел. Это было связано с несколькими причинами, например, математической. Здесь нужно отметить, что, с одной стороны, характерной особенностью задач ТМО является необходимость почти для каждой СМО искать собственные методы исследования, а с другой - большой интерес исследователей к ТМО привел к тому, что задачи, допускающие простые решения, особенно в вычислительном плане, уже были решены. Кроме того, у аналитических методов появился серьезный конкурент - имитационное моделирование.

Однако в последнее время снова возродился интерес к задачам ТМО, обусловленный не только новыми проблемами, возникшими в практической жизни и особенно в областях, связанных с разработкой и применением вычислительной техники, но и новыми математическими подходами к их решению. Одним из таких подходов является алгоритмический подход, возникший в связи с широким применением вычислительной техники, в частности, персональных компьютеров в научных исследованиях, и предлагающий получение решений задач ТМО в виде тех или иных вычислительных алгоритмов. Алгоритмический подход, проигрывая традиционным аналитическим методам в наглядности полученных результатов, возможности их использования в задачах оптимизации и т. п., тем не менее, обладает и несомненным преимуществом, которое заключается в его ориентации на создание, в конечном итоге, комплексов и пакетов прикладных программ и таблиц, что в практической жизни часто оценивается гораздо выше даже очень "красивых" формул.