Позиционные системы счисления - Методичка

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образованияТакже в практикум входят изучение различных систем счисления, применяемых в компьютерах; изучение перевода чисел из одной системы счисления в другую; овладение приемами образования различных кодов; выполнение арифметических операций над числами с фиксированной и плавающей точкой; выполнение логических операций над двоичными числами. «Усвоить основные сведения о системах счисления и научиться переводу чисел из одних систем счисления в другие». В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: двоичная (используются цифры 0, 1); Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 - соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Содержание

Введение

1. «Позиционные системы счисления»

2. «Арифметические операции в позиционных системах счисления»

3. «Представление целых чисел в компьютере»

4. «Логические основы построения цифровых автоматов»

5. «Решение задач алгебры логики»

Список литературы

Цель настоящего практикума - ознакомить студентов с арифметическими основами информатики и двоичной логикой. Практикум включает: изучение основных законов и постулатов алгебры логики, для рассмотрения задач синтеза и анализа переключательных схем.

Также в практикум входят изучение различных систем счисления, применяемых в компьютерах; изучение перевода чисел из одной системы счисления в другую; овладение приемами образования различных кодов; выполнение арифметических операций над числами с фиксированной и плавающей точкой; выполнение логических операций над двоичными числами.

Его содержание соответствует рабочей программе по дисциплине «Информатика». Он состоит из теоретической части и контрольных заданий, которые выполняют студенты в период теоретических занятий.

Количество решаемых студентами задач определяется преподавателем, ведущим практикум.

1. «Позиционные системы счисления»

Цель работы

«Усвоить основные сведения о системах счисления и научиться переводу чисел из одних систем счисления в другие».

Порядок выполнения работы

Ознакомиться с теоретической частью

Получить задание у преподавателя

Оформить отчет

Теоретическая часть

Системы счисления

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХІІ (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 50 7 0,7 = 7*102 5*101 7*100 7*10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения an-1 qn-1 an-2 qn-2 ... a1 q1 a0 q0 a-1 q-1 ... a-m q-m , где ai - цифры системы счисления;

n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно.

Продвижение цифры

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвинуть цифру 1 значит заменить ее на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить ее на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену ее на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры - 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 - замену ее на 0.

Целые числа в любой системе счисления рождаются с помощью

Рассмотрим это правило на примерах.

Запишем первые десять целых чисел в различных системах счисления: Система счисления

№ Двоичная Троичная Пятеричная Восьмеричная

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

2 10 2 2 2

3 11 10 3 3

4 100 11 4 4

5 101 12 10 5

6 110 20 11 6

7 111 21 12 7

8 1000 22 13 10

9 1001 100 14 11

Системы счисления, используемые для общения с компьютером.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: двоичная (используются цифры 0, 1);

восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел: Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами.

Преимущества: для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, - как в десятичной;

представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостатки: быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна изза ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 - соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: Рассмотрим перевод на примерах.

Существует также правило перевода из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную.

Перевод целого числа из десятичной системы в другую позиционную систему счисления.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

Перевод правильной десятичной дроби в другую позиционную систему счисления Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в результате, которое поместится в ячейку.

Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах - десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую.

Порядок переводов определим в соответствии с рисунком: На этом рисунке использованы следующие обозначения: стрелки указывают направление перевода;

номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 4.1.

Сводная таблица переводов целых чисел на примере числа 46

Контрольные вопросы

Что такое система счисления?

Что называют основанием позиционных систем счисления?

Какая разница между непозиционными (аддиктивными) системами счисления и позиционными ?

Почему в вычислительной технике используется двоичная система счисления?

Какие действия необходимо произвести для перевода целого числа десятичной системы в иную систему счисления (двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную)?

До каких пор при переводе правильной дроби в иную позиционную систему, производится умножение?

Задание

Какие целые числа следуют за числами: а) 12 е) 18 л) F16 б) 1012 ж) 78 м) 1F16 в) 1112 з) 378 н) FF16 г) 11112 и) 1778 о) 9AF916 д) 1010112 к) 77778 п) CDEF16

Какие целые числа предшествуют числами: а) 102 е) 108 л) 1016 б) 10102 ж) 208 м) 2016 в) 10002 з) 1008 н) 10016 г) 100002 и) 1108 о) А1016 д) 101002 к) 10008 п) 100016

Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, сделав обратные переводы: а) 10110112 е) 5178 л) 1F16 б) 101101112 ж) 10108 м) ABC16 в) 0111000012 з) 12348 н) 101016 г) 0,10001102 и) 0,348 о) 0,A416 д) 110100,112 к) 123,418 п) 1DE,C816

Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: 12510

22910

8810

37,2510

206,12510

Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: 2CE16;

9F4016;

ABCDE16;

1010,10116

1ABC,9D16.

Расположите следующие числа в порядке возрастания: 748, 1100102, 7010, 3816;

6E16, 1428, 11010012, 10010;

7778,1011111112, 2FF16,50010;

10010, 11000002, 6016, 1418;

Название, цель работы;

Задание;

Письменные ответы на контрольные вопросы;

5. «Решение задач алгебры логики»

Цель работы

«Усвоить основные операции алгебры логики, порядок выполнения операций в логических выражениях, научиться составлять таблицы истинности»

Порядок выполнения работы

Ознакомиться с теоретической частью

Получить задание у преподавателя

Оформить отчет

Теоретическая часть условные обозначения логических операций

¬ A, не A (отрицание, инверсия)

A ? B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A ? B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A > B импликация (следование) таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика») операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»: A > B = ¬ A ? B или в других обозначениях A > B = если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем - «И», затем - «ИЛИ», и самая последняя - «импликация» иногда полезны формулы де Моргана: ¬ (A ? B) = ¬ A ? ¬ B

¬ (A ? B) = ¬ A ? ¬ B

Пример задания: Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)>(X > 3))?

1 2) 23) 34) 4

Решение: определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем - отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 - ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках: X X > 2 X > 3 (X > 2)>(X > 3) ¬((X > 2)>(X > 3))

1 0 0

2 0 0

3 1 0

4 1 1 по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке): X X > 2 X > 3 (X > 2)>(X > 3) ¬((X > 2)>(X > 3))

1 0 0 1

2 0 0 1

3 1 0 0

4 1 1 1 значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот): X X > 2 X > 3 (X > 2)>(X > 3) ¬((X > 2)>(X > 3))

1 0 0 1 0

2 0 0 1 0

3 1 0 0 1

4 1 1 1 0 таким образом, ответ - 3.

Контрольные задания (часть 1).

Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание

((X < 5)>(X < 3)) ? ((X < 2)>(X < 1))?

1 2) 23) 34) 4

Для какого числа X истинно высказывание ((X > 3)?(X < 3)) >(X < 1)?

12) 23) 34) 4

Для какого числа X истинно высказывание X > 1 ? ((X < 5)>(X < 3))?

12) 23) 34) 4

Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Первая буква имени гласная > Четвертая буква имени согласная)?

ЕЛЕНА2) ВАДИМ3) АНТОН4) ФЕДОР

Для какого символьного выражения неверно высказывание: Первая буква гласная > ¬ (Третья буква согласная)?

1)abedc2)becde3) babas 4) abcab

Для какого числа X истинно высказывание (X > 2)?(X > 5)>(X < 3)?

5 2) 23) 34) 4

Для какого из значений числа Z высказывание ((Z > 2)?(Z > 4)) >(Z > 3) будет ложным?

12) 23) 34) 4

Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Первая буква имени согласная > Третья буква имени гласная)?

ЮЛИЯ2) ПЕТР3) АЛЕКСЕЙ4) КСЕНИЯ

Для какого из значений числа Y высказывание (Y 1) > (Y > 5)) будет истинным?

12) 23) 34) 4

Для какого имени истинно высказывание: (Вторая буква гласная > Первая буква гласная) ? Последняя буква согласная?

ИРИНА2) МАКСИМ3) МАРИЯ4) СТЕПАН

Основные законы алгебры логики

Таблица 1 - Законы алгебры логики.

Пример задания: Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A ? ¬(¬B ? C).

¬A ? ¬B ? ¬C 2) A ? ¬B ? ¬C3) A ? B ? ¬C4) A ? ¬B ? C

Решение (использование законов де Моргана): перепишем заданное выражение и ответы в других обозначениях: заданное выражение ответы: 1) 2) 3) 4) посмотрев на заданное выражение, видим инверсию (операцию «НЕ») для сложного выражения в скобках, которую раскрываем по формуле де Моргана,

а затем используем закон двойного отрицания по которому :

таким образом, правильный ответ - 3 .

Контрольные задания (часть 2).

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению ¬(A ? ¬B ? C) ?

¬A ? B ? ¬C2) A ? ¬B ? C 3) ¬A ? ¬B ? ¬C 4) ¬A ? B ? ¬C

Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (A ? B) ? ¬C ?

¬A ? B ? ¬C 2)(¬A ? ¬B) ? ¬C 3)(¬A ? ¬B) ? C4) ¬A ? ¬B ? ¬C

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (¬А ? B)?

A ? ¬B2) ¬A ? B3) B ? ¬A4) A ? ¬B

Какое логическое выражение равносильно выражению ¬(А ? ¬B) ?

A ? B2) A ? B3) ¬A ? ¬B4) ¬A ? B

Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬(¬A ? ¬B) ? C ?

(A ? ¬B) ? C2) A ? B ? C3) (A > ¬B)? C4) ¬(A ? ¬B)? C

Какое логическое выражение эквивалентно выражению A ? ¬(¬B ? ¬C)?

A ? B ? C2) A ? B ? ¬C3) A ? (B ? C)4) (A ? ¬B) ? ¬C

Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬(A ? B) ? ¬C?

(A ? B) ? ¬C2) (A ? B) ? C3) (¬A ? ¬B) ? ¬C4) (A ? B) ? C

Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬(A ? ¬B) ? ¬C?

A ? B ? C2) ¬(A ? B) ? C3) ¬(A ? C) ? B4) ¬(A ? C) ? B

Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬(¬A ? B) ? ¬C?

(A ? B) ? ¬C2) (A ? B) ? C3) (A ? ¬B) ? ¬C4) (A ? ¬B) ? ¬C

Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬(A ? B) > C?

¬A ? B ? C2) A ? B ? C3) ¬(A ? B) ? C4) ¬A ? ¬B ? ¬C

Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬(¬ A ? ¬ B)? C?

¬ A ? B ? ¬ C2) (¬ A ? ¬ B)? ¬C3) (A ? B)? C4) A ? B ? C

Составление таблиц истинности условные обозначения логических операций

¬ A, не A (отрицание, инверсия)

A ? B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A ? B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A > B импликация (следование) операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»: A > B = ¬ A ? B или в других обозначениях A > B = иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана: ¬ (A ? B) = ¬ A ? ¬ B

¬ (A ? B) = ¬ A ? ¬ B если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем - «И», затем - «ИЛИ», и самая последняя - «импликация» таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных);

количество разных логических выражений, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно , где - число отсутствующих строк; например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 23=8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 28-6=22=4 разных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся) логическая сумма A B C … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно) логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно)

Пример задания: Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Какое выражение соответствует F?

¬X ? ¬Y ? ¬Z 2) X ? Y ? Z3) X ? Y ? Z4) ¬X ? ¬Y ? ¬Z

Решение: нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F перепишем ответы в других обозначениях: 1) 2) 3) 4) первое выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит) второе выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят) третье выражение, , равно нулю при , поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит) наконец, четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда , а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности таким образом, правильный ответ - 4;

частичная таблица истинности для всех выражений имеет следующий вид: X Y Z F

1 0 0 1 0 ? 0 ? 1 1

0 0 0 1 - - 0 ? 1

1 1 1 0 - - - 0

(крестик показывает, что значение функции не совпадает с F, а знак «-» означает, что вычислять оставшиеся значения не обязательно).

Контрольные задания (часть 3).

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

X ? ¬Y ? Z2) X ? Y ? Z

X ? Y ? ¬Z 4) ¬X ? Y ? ¬Z

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

¬X ? Y ? ¬Z2) X ? Y ? ¬Z

¬X ? ¬Y ? Z 4) X ? ¬Y ? Z

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

X ? Y ? Z2) ¬X ? ¬Y ? Z

X ? Y ? ¬Z 4) ¬X ? ¬Y ? ¬Z

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

¬X ? ¬Y ? Z2) ¬X ? ¬Y ? Z

X ? Y ? ¬Z 4) X ? Y ? Z

Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

A > (¬A ? ¬B)2) A ? B

¬A > B 4) ¬A ? ¬B

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

X ? Y ? Z2) ¬X ? Y ? ¬Z

X ? (Y ? Z) 4) (X ? Y) ? ¬Z

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

X ? Y ? Z2) X ? Y ? Z

X ? Y ? Z 4) ¬X ? ¬Y ? ¬Z

Список литературы

1. В.А. Острейковский. Информатика. М. - Высшая школа. 2000.

2. Информатика: Макарова Н.В. Учебник - 3-е изд.перераб.-М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Информатика. Базовый курс./Под редакцией Симоновича С.В. - С.-Пб.: Питер, 2000.

4. Лекции по общей информатике. Под ред. проф. Атрощенко В.А., КУБГТУ Краснодар-2004.

5. Информатика базовый курс. Акулов О.А., Медведев Н.В. М.: «Омега»,-2004.

6. Конспект лекций по информатике под ред. проф. Атрощенко В. А., КУБГТУ Краснодар-2009.

Размещено на .ru