Понятия поверхностных интегралов первого и второго рода, связь между ними, их геометрический и физический смысл, основные свойства и приложения. Задачи, связанные с функциями, определенными на поверхностях, вычисление массы материальной поверхности.
1На прошлой лекции мы уже отметили, что для функции заданной на некоторой поверхности можно использовать ставший обычным для нас прием введения нового понятия интеграла с помощью соответствующим образом построенных интегральных сумм. Сегодня на типичных задачах, связанных с функциями, определенными на поверхностях - задаче о массе материальной поверхности и задаче о вычислении потока жидкости через поверхность - мы рассмотрим новые понятия - понятия поверхностных интегралов первого и второго рода, укажем на их основные приложения, связь между ними и изучим их основные свойства . При изучении функций, заданных на поверхности, следует различать односторонние поверхности и ориентируемые (или двусторонние ) поверхности. Возьмем на поверхности П произвольную точку М и проведем через нее вектор n(M), нормальный к поверхности П. Предел интегральных сумм (5) при d >0, если он существует, называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (x, y,z) по поверхности П и обозначается ?? f (x, y,z d? , т.е.Вводя поверхностные интегралы, можно это равенство переписать в виде V = ??zdxdy ??zdxdy S1 S2 причем интегралы берутся по внешней стороне поверхности. Прибавляя к этим интегралам равный нулю интеграл Задание на самоподготовку: 1.Вычислите поверхностные интегралы первого рода ?? f (x, y,z)d? П а) П - часть плоскости x y z = a, лежащая в первом октанте; f (x, y, z) =1 б) П - полусфера z = 1-x2 - y2 , f (x, y, z) = x. 2.Вычислите поверхностные интегралы второго рода: а) ??-xdydz zdzdx 5dxdy по верхней стороне части плоскости 2x 3y z = 6, П лежащей в 1-ом октанте. б) ?? x2 y2 dxdy по нижней стороне круга x2 y2 ? R2.
Введение
На прошлой лекции мы уже отметили, что для функции заданной на некоторой поверхности можно использовать ставший обычным для нас прием введения нового понятия интеграла с помощью соответствующим образом построенных интегральных сумм. Сегодня на типичных задачах, связанных с функциями, определенными на поверхностях - задаче о массе материальной поверхности и задаче о вычислении потока жидкости через поверхность - мы рассмотрим новые понятия - понятия поверхностных интегралов первого и второго рода, укажем на их основные приложения, связь между ними и изучим их основные свойства .
При изучении функций, заданных на поверхности, следует различать односторонние поверхности и ориентируемые (или двусторонние ) поверхности. Основные приложения поверхностных интегралов связаны с теорией поля, с изучением электромагнитных явлений, с гидроаэродинамикой и акустикой.
1. Поверхностные интегралы первого рода, их основные свойства и вычисление
Возьмем на поверхности П произвольную точку М и проведем через нее вектор n(M), нормальный к поверхности П. Вектор нормали является вектор-функцией точки М поверхности П. Если при обходе поверхности нормаль возвращается в ту же точку с тем же направлением, то поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали меняется на противоположное, то такие поверхности называются односторонними. Примером односторонней поверхности является известный лист Мебиуса.
Выбор одной из сторон двусторонней поверхности называется ориентацией поверхности.
Будем считать положительным направлением обхода линии ? такое направление, при движении по которому ориентированная поверхность П остается слева по отношению к точке, совершающей обход. При изменении ориентации поверхности положительное направление линии ? меняется на противоположное.
Найдем площадь поверхности. Рассмотрим в пространстве поверхность П, заданную уравнением вида z = z(x, y), где z(x, y) непрерывно дифференцируемая функция. Пусть проекция поверхности П на плоскостьх XOY есть Ф. Разобьем Ф на ячейки Фк и выберем в каждой ячейке точку Nk (xk , yk ). Проведем в точке Mk (xk , yk ,zk ) касательную плоскость P к поверхности П. Угол между нормалью к k k и осью Oz обозначим через ?k . Известно, что P
cos?k =
1
1 [zx (Nk )]2 [zy (Nk )]2 (1)
? ?
Обозначим через ся в Фк . Тогда 2
??k площадь той части плоскости P , которая проектирует- k
??k = cos?k = 1 [zx (Nk )]2 [zy (Nk )2 ?SK (2) k
?S
]
? ? где ?SK - площадь ячейки Фк . Положим
?n = ???k (3) k=1 n
(3) представляет собой площадь чешуйчатой поверхности, образованной всеми кусками плоскостей. Устремляя диаметр разбиения d к нулю, в пределе получим выражение площади поверхности через двойной интеграл
? = ?? 1 [z? (x, y)]2 [z? (x, y)]2 DS = lim???k (4) n x y d
>0
Ф k=1
Пусть на поверхности П задана функция f (x, y,z). Рассмотрим разбиение
{ k } поверхности П на части с площадями { ?k } и диаметрами { k }. Наибольший из диаметров обозначим через d и назовем диаметром разбиения. В каждой частичной поверхности ?k отметим произвольную точку Nk xk , yk ,zk , которую назовем отмеченной точкой и составим сумму парных произведений
? ? d
( ) ?n = ? f (xk , yk ,zk ??k (5) k=1
) n
Опреtrialие 1. Предел интегральных сумм (5) при d >0, если он существует, называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (x, y,z) по поверхности П и обозначается ?? f (x, y,z d? , т.е. ?
)
?? f (x, y,z d? = lim? f (xk , yk ,zk ??k (6) ? k=1
) n
) d
>
0
Свойства поверхностного интеграла первого рода аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода.
Перейдем к вычислению поверхностного интеграла первого рода.
Пусть функция f (x, y,z) непрерывна, а следовательно и интегрируема на П. Обозначим через ?k } разбиение поверхности, а через { k } - проекцию { k } на плоскость XOY. Согласно формуле (4), площадь ? ? k каждой ячейки есть
{
?
?
3
)
3 y
? ?
? ?
3
??k = ?? 1 [zx (x, y)]2 [zy (x, y)]2 dxdy (7) Фк
? ?
По теореме о среднем получаем
??k = 1 zx (xk , yk )2 zy (xk , yk )2 ?SK (8)
[ ] [ ]
? ?
Составим интегральную сумму для функции f (x, y,z) по разбиению { k }
?
? f (xk , y ,zk ) ? = ? f (xk , y ,z(xk , y )) 1 [z? (xk , y )2 [z? (xk , y )2 ?S (9) k=1 k=1
] ] k y n n
? x k k k k k k
Переходя в (9) к пределу при d > 0, получим
?? f (x, y, z d? = ?? f (x, y,z(x, y)) 1 [zx (x, y)2 [zy (x, y)]2 dxdy (10) ? Ф
)
]
? ?
Пример 1. Вычислить I = ??(6x 4y 3z d? по части плоскости x 2y 3z = 6 ?
) расположенной в 1-ом октанте.
Решение: Поверхность П задана уравнением z = 1(6 ? x ? 2y), где функция
3
1 2
? ? z(x, y)= 1(6 ? x ? 2y) и ее частные производные zx (x, y)= ? 3, zy (x, y)= ? 3 . По формуле (10) получаем
2. Поверхностные интегралы второго рода, их основные свойства и вычисление
Пусть П - гладкая ограниченная ориентированная поверхность, на которой задана функция f (x, y,z), а n(x, y,z) - единичная нормаль к П в соответствующей точке. Произведем разбиение { k } поверхности П и обозначим площадь ячейки ?k
? через ??k . На каждой ячейке ?k выберем произвольную точку Nk и обозначим через ?k , ?k ?k углы, образуемые с координатными осями нормальным вектором n(Nk ). Составим суммы вида
4
?n ) = ? f (Nk )cos?k ??k k=1 n
(
1
?n2) = ? f (Nk )cos?k ??k (11) k=1 n
(
?n3) = ? f (Nk )cos?k ??k , k=1 n
( которые называются интегральными суммами второго рода, соответствующими разбиению { k }, с отмеченными точками Nk .
?
Определение 2. Пределы интегральных сумм (11) при d >0 (если они существуют) называются поверхностными интегралами второго рода от функции f (x, y,z) по поверхности П и обозначаются соответственно ?? f (x, y,z)cos?d? , ?? f (x, y,z)cos?d? , ?? f (x, y,z)cos?d? (12) ? ? ?
Из определения поверхностных интегралов второго рода вытекает, что они зависят от выбора стороны поверхности. После выбора стороны поверхности поверхностные интегралы второго рода можно рассматривать как поверхностные интегралы первого рода по поверхности П от функций f (x, y,z)cos?(x, y,z), f (x, y,z)cos?(x, y,z), f (x, y,z)cos?(x, y,z) .
Пусть задана векторная функция a(M)= P(M i Q(M)j R(M)k и вектор нормали n(M)= cos?i cos? j cos?k . С учетом того, что скалярное произведение
) a(M)?n(M) является непрерывной скалярной функцией на П, и поэтому не зависит от выбора системы координат, можно записать
Формулы (14)-(16) служат для вычисления поверхностных интегралов второго рода, и определяют связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.
Для параметрически заданной поверхности x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) приведем общую формулу, сводящую поверхностный интеграл второго рода к обыкновенному двойному интегралу
??Pdydz Qdzdx Rdxdy = ±??(PA QB RC)d? (18) ? ?
?
?
?
? u z где А, В, С определители матрицы
?xu yu
?xv yv
?
?
?
zv ? .
?
?
Пример 2. Вычислить I = ??xdydz ydzdx zdxdy , где П - верхняя сторона час-? ти плоскости x z ?1= 0, отсеченной плоскостями y = 0, y = 4 и лежащей в 1-ом октанте.
Решение: Согласно определению, имеем
I = ??x(y,z dydz ??ydxdz ??z(y,z dydx ?1 ? ?2
) ) где ?1 и ?2 - проекции П на плоскости YOZ и XOY. Так как П параллельна оси Oy, то лучим
??ydxdz = 0. Используя формулы (14) и (16), соответственно по-?
Пример 3. Вычислить ??zcos?d? , где П - внешняя сторона полусферы П x2 y2 z2 =1. Расположенной над плоскостью XOY, а ? - острый угол вектора нормали к П с осью Oz.
Решение. Имеем ? = ??zcos?d? = ??zdxdy. Проекцией П на плоскость XOY П П является круг ?: x2 y2 ?1. Находим ? = ?? 1? x2 ? y2 dxdy. Переходя к поляр-П ным координатам получим
? = ?d?? 0 0 ?
2 1
1? r2 rdr = ??? 1?32 )2 ?1 d? = 3 ?d? = 3? 0
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
