Поверхности ферми - Реферат

Понятие о поверхности Ферми - одно из основополагающих в квантовой механике, оно позволяет понять и объяснить основные физические свойства металла. Если учесть, что каждый электрон обладает спином - моментом вращения, то не более двух электронов с противоположно направленными спинами могут иметь одинаковые скорости и направление движения. В пространстве скоростей появляется поверхность (в простейшей модели это сфера) Ферми, определяющая границу занятых и незанятых состояний в электронном газе или энергию Ферми. Подняться на незанятые состояния под воздействием нагрева могут только электроны на поверхности Ферми, количество которых существенно меньше, чем общее число электронов. Когда длина волны электрона равна целому числу расстояний между ионами в решетке, электрон рассеивается (отражается) подобно рентгеновским лучам в кристалле.Теория и экспериментальные исследования поверхности Ферми металлов под давлением позволили открыть электронные фазовые переходы 2,5 - города и этим создать новое направление в физике твердого тела - изучение качественных изменений под давлением электронного спектра при помощи прямых измерений (спектроскопия давлением). Работы по фазовым переходам 2,5 - города доказали не только их наличие, но и возможность их наблюдения под давлением с помощью исследования кинетических явлений, таких, как термо-ЭДС, когда условия для прямых наблюдений поверхности Ферми (хорошие монокристаллы, гидростатика) невозможно осуществить. Эти исследования получили еще более широкое распространение в физике полупроводников, одной из самых динамично развивающихся сегодня областей физики твердого тела.

металл физика ферми

Ферми-поверхность - эффективный способ описания поведения электронов в металле. Форма и особенности поверхности Ферми объясняют такие свойства металлов, как проводимость электричества и тепла, поведениев магнитном поле. На поверхность Ферми можно воздействовать и изменять ее, например всесторонним сжатием. При этом меняются и свойства металла

Множество людей считают, что они знают, что такое металл и каковы его свойства. При ответе на вопрос, что такое металл, практически каждый знает его основные признаки, такие, например, как электро- и теплопроводность. Физик должен ответить на вопрос, с какими особенностями структуры металла связаны эти свойства и можно ли их изменить. Для этого строится исходная модель металла - это совокупность положительно заряженных колеблющихся ионов и системы сравнительно свободных коллективизированных валентных электронов. Но можно определить металл и как твердое тело, обладающее ферми-поверхностью, это физическое определение отражает сущность металлических свойств. Понятие о поверхности Ферми - одно из основополагающих в квантовой механике, оно позволяет понять и объяснить основные физические свойства металла.

Но сначала немного истории. Немецкий физик Пауль Друде в 1900 году предложил модель металла в виде ящика, содержащего газ свободно движущихся электронов. Теория Друде объяснила многие свойства металлов: электрический ток как поток электронов, теплопроводность как перенос тепла этим же потоком. Но модель не смогла объяснить некоторые другие явления, главные из которых связаны с малостью энергии, необходимой для повышения температуры электронного газа по сравнению с предсказаниями теории. Скорости свободных электронов Друде, как и молекулы газа, должны быть распределены по статистике Л. Больцмана: при нагревании тепло поглощается всеми электронами, то есть должно было бы затрачиваться большое количество энергии.

Проблема была решена лишь с появлением и развитием квантовой механики. Физик из Швейцарии Вольфганг Паули в 1925 году сформулировал правило, согласно которому два электрона в системе не могут находиться в одном и том же состоянии (двигаться одинаковым образом). Если учесть, что каждый электрон обладает спином - моментом вращения, то не более двух электронов с противоположно направленными спинами могут иметь одинаковые скорости и направление движения.

В 1926 году итальянский физик Энрико Ферми и английский Поль Дирак применили принцип запрета Паули к электронному газу. В их модели электроны последовательно заполняют состояния со все более высокой скоростью движения. Для описания этого явления оказалось удобным вести рассмотрение не в привычном физическом пространстве координат, а в пространстве скоростей. Координатами этого пространства являются проекции скорости на направления координатных осей. Точка в этом пространстве определяет величину и направление скорости. Граничная скорость называется скоростью Ферми - это граница занятых состояний. При абсолютном нуле температуры эта граница очень резкая. Электроны занимают самые нижние уровни энергии. В пространстве скоростей появляется поверхность (в простейшей модели это сфера) Ферми, определяющая границу занятых и незанятых состояний в электронном газе или энергию Ферми. Электроны низших состояний не могут изменить свою скорость, так как состояния, лежащие над ними, уже заняты. Подняться на незанятые состояния под воздействием нагрева могут только электроны на поверхности Ферми, количество которых существенно меньше, чем общее число электронов. В этом их отличие от идеального газа, где при нагреве дополнительная энергия поглощается сразу всеми молекулами.

1. Современная физика металлов. Основные понятия

Однако и принцип Паули не все объяснял, так как не учитывал влияния на электронный газ положительных ионов кристаллической решетки металла. Взаимное отталкивание электронов также имеет место, но оно не меняет существенно их распределения по скоростям, то есть поверхность Ферми. Вследствие отталкивания электроны не подходят близко друг к другу. Экранирование электронов положительным зарядом решетки резко уменьшает силу отталкивания и делает редкими столкновения электронов. Влияние решетки изучил работавший в Швейцарии Феликс Блох (1928). Электростатическое взаимодействие с ионами меняет энергию электрона. Следовательно, поверхность Ферми в некоторых направлениях может отличаться от сферы. На рис. 1 это отражает пример для меди. Дальше мы дадим полное пояснение этих рисунков.

Но электрон имеет и волновые свойства, что приводит к дифракции этих волн на решетке ионов. Когда длина волны электрона равна целому числу расстояний между ионами в решетке, электрон рассеивается (отражается) подобно рентгеновским лучам в кристалле. Отраженные волны образуют две стоячие волны, по-разному взаимодействующие с ионами и поэтому имеющие разную энергию. Электрон не может иметь промежуточную между этими значениями величину энергии. Это и есть запрещенная щель между областями разрешенных значений энергий электронов.

Решая уравнение Шредингера для электронов проводимости с учетом периодического расположения ионов и взаимодействия с ними, Блох получил решения, соответствующие описанной картине. В расчетах используется не скорость электрона, а пропорциональное ей волновое число, равное количеству волн, укладывающих на расстоянии 2p см в направлении распространения волны. Длина волны электрона зависит от его импульса, связанного с волновым числом простым соотношением hk = p, где h - постоянная Планка, k и p - волновой вектор и импульс электрона соответственно. И обычно говорят о пространстве волновых векторов (импульсов) вместо пространства скоростей. Движение электрона описывается на основе установления связи его энергии с волновым числом E(k), которая представляет собой закон дисперсии электронов проводимости.

Искривление поверхности Ферми под влиянием решетки изменяет плотность разрешенных электронных состояний (число состояний на интервал энергии) вблизи нее, что воздействует на термодинамические и кинетические свойства металла. Позже мы дадим точное определение плотности состояний. Забегая вперед, можно указать, что и давление или односторонняя деформация также меняют эту плотность с теми же последствиями. Самое глубокое влияние на форму поверхности Ферми оказывают запрещенные энергетические зоны. Они хорошо видны на кривых, изображающих закон дисперсии E(k). (Для свободного электрона это хорошо известная парабола E = (hk) 2/(2m).) Для электрона проводимости на такой кривой можно показать, где находятся запрещенные щели (рис. 2).

Французский физик Луи Бриллюэн ввел понятие о зонах Бриллюэна, границы которых как раз и указывают расположение щелей. Первая зона Бриллюэна в пространстве k-векторов представляет собой многогранник (ячейка Вигнера-Зейтца), внутри которого энергия непрерывна (рис. 1) и плоскости которого (границы зоны) являются местом разрыва энергии. Вторая (и т.д.) зона Бриллюэна надстраивается по определенным правилам за этими плоскостями, и в ней тоже могут находиться части поверхности Ферми, и энергия опять непрерывна, как и следует из рис. 2. На этом же рисунке видно, что объем последующих зон Бриллюэна равен объему первой и их можно изображать так, как это сделано на рис. 1 (схема расширенных зон). Зоны Бриллюэна являются элементарными ячейками обратной решетки, они покрывают все пространство этой решетки, это схема повторяющихся зон, наиболее распространенная.

Металлы характеризуются наличием электронов на разрешенных уровнях, примыкающих непрерывно к поверхности Ферми, им есть куда двигаться под действием электрического поля, поэтому они хорошо проводят электричество. Электропроводность металла и другие свойства определяются формой поверхности Ферми и длиной свободного пробега электронов на этой поверхности. Это же касается и внешних воздействий на металл, таких, как давление. Но прежде чем переходить к роли давления, следует еще кратко упомянуть о том, как развивались экспериментальные исследования поверхности Ферми металлов и какие модели используются для анализа экспериментов.

2. Экспериментальные исследования поверхности ферми металлов, в том числе под давлением

С помощью различных тонких методов удалось исследовать поверхности Ферми в нормальных условиях для большинства металлов. Методы эти включают облучение электромагнитными волнами в микроволновом диапазоне и эффекты воздействия на металл сильных магнитных полей.

Для исследования под давлением наиболее приемлемы методы, позволяющие получать количественные данные о геометрии поверхности Ферми. Это связано со спецификой методики создания статического давления, степени его гидростатичности и предельной величины. Поскольку измерения геометрии поверхности Ферми требуют больших времен релаксации для электронов, эксперименты ведутся при очень низких температурах (обычно для охлаждения металла используется жидкий гелий), на чистых и бездефектных кристаллах, в сильных магнитных полях.

Самым распространенным для работы под давлением оказалось использование квантовых осцилляций плотности состояний электронов в магнитном поле, дающих прямую информацию о поверхности Ферми - это эффекты де Хааза-ван Альфена и Шубникова-де Хааза (ДХВА и ШХ). В этом эксперименте охлажденный до температуры жидкого гелия металл помещается в сильное магнитное поле и измеряются намагниченность или электросопротивление, вызываемые этим полем. Намагниченность и электросопротивление периодичны по обратному полю. Частота таких осцилляций пропорциональна площади поперечного сечения поверхности Ферми, перпендикулярного к направлению поля. Для большинства металлов оказалось, что определенная в эксперименте реальная поверхность Ферми не очень отличается от таковой для свободных электронов (рис. 1). Однако если эти отличия ведут к изменению ее топологии, то они могут кардинально изменять физические свойства металла. Кроме экспериментального отыскания возможных важных отличий была построена модель поверхности Ферми металла, способная помочь в анализе генезиса этих отличий и поиске их возникновения под давлением и при упругих деформациях.

3. Построение модели поверхности ферми

Методом построения количественной модели является метод псевдопотенциала, разработанный американским физиком Уолтером Харрисоном в 60-х годах. Главное приближение метода - разделение всех электронных состояний на состояния внутренней оболочки и состояния электронов проводимости, причем первые считаются сильно локализованными (привязанными к ионам решетки), а вторые лежат выше последней заполненной оболочки. Вблизи ионов пренебрегают изменением потенциала взаимодействия с электронами за счет соседних ионов и электронов проводимости. Волновые функции электронов внутренних оболочек не перекрываются, они те же, что и у изолированных ионов. Кроме того, делаются еще два приближения: потенциал вычисляется самосогласованно, а внутри зоны Бриллюэна используется теория возмущений. Первое означает, что взаимодействие между электронами описывается средним потенциалом, который зависит от того, в каких состояниях находятся электроны; электронные состояния, в свою очередь, зависят от среднего потенциала. Второе означает разбиение волновых функций, являющихся решениями уравнения Шредингера, и собственных значений энергии электронов на основную часть, соответствующую решению без потенциала, и малую добавку, связанную с решеткой, - возмущение. Потенциал рассматривается сразу как возмущение.

Решение в рамках этой теории имеет вид ряда (и для волновой функции и для энергии). Главная задача метода состоит в том, чтобы найти достаточно просто собственные значения энергии E(k) электронов проводимости (тем самым определить поверхность Ферми), в том числе на границах зоны Бриллюэна, и понять, почему электроны проводимости почти свободны несмотря на сильное кулоновское взаимодействие электрон - положительный ион, то есть обосновать теорию возмущений. Метод хорошо применим к одно-двухвалентным металлам и металлам с незаполненными d-оболочками (см. Периодическую систему элементов Менделеева), у которых уровень Ферми проходит через s- и р-уровни, а волновые функции d-электронов не перекрываются.

Метод дает псевдоволновое уравнение с той же зависимостью Е(k), что и истинное волновое уравнение с заменой потенциала на псевдопотенциал W, и псевдоволновой функцией j(k) = Sa(k) | k q с - рядом, состоящим из суммы плоских волн, где q - изменение волнового вектора за счет внешнего воздействия. Истинная волновая функция электронов проводимости выражается через эту сумму с учетом влияния электронов внутренних оболочек атома. Подставляя j(k) в уравнение Шредингера с псевдопотенциалом W и используя ортогональность плоских волн, получаем систему линейных алгебраических уравнений, решение которых дает Е(k) и тем самым поверхность Ферми (ПФ).

Для сходимости ряда j(k) оказывается достаточно небольшого числа плоских волн - членов ряда. Для получения ПФ на грани зоны Бриллюэна достаточны две плоские волны, для ребра - три и для угла - четыре. Для описания свойств металла, в которых определяющую роль играют электроны на ПФ, псевдопотенциал W можно считать зависящим только от вектора q. Согласно модели свободных электронов (значение W близко к нулю), ПФ есть совокупность i 1 пересекающихся сфер Ферми с центрами в эквивалентных точках в обратной решетке, состоящей из повторяющихся одинаковых зон Бриллюэна в k-пространстве, называемой построением Харрисона. Оно определяется уравнением, где EF - энергия Ферми, KF - фермиевский волновой вектор, gi - вектор обратной решетки, KF определен кристаллической структурой и валентностью металла Z. Например, для грани зоны Бриллюэна прилегающая часть ПФ образуется при пересечении двух сфер радиуса KF с центрами на перпендикулярной грани прямой, отстоящими друг от друга на величину вектора обратной решетки gi.

Сегменты сфер, отсекаемые гранями зоны Бриллюэна и соседними сферами, образуют части поверхности Ферми, относящейся к той или иной зоне по следующему правилу: области, ограниченные частями ПФ отрицательной кривизны относительно внутреннего, заполненного электронами объема и принадлежащие одновременно n сферам, представляют собой дырочные части поверхности Ферми в (n 1) - й зоне; области, ограниченные частями ПФ положительной кривизны относительно внутреннего, заполненного электронами объема и принадлежащие одновременно n сферам, представляют собой электронные части ПФ в n-й зоне. Получающаяся ПФ называется одноволновой (1-ОПВ). Ее разновидности изображены на рис. 1.

Близкие к реальной ПФ получаются из одноволновой внесением поправок изза конечности W, значительных вблизи граней зоны Бриллюэна, или если отсекаемые соседними сферами части ПФ малы.

Теория и экспериментальные исследования поверхности Ферми металлов под давлением позволили открыть электронные фазовые переходы 2,5 - города и этим создать новое направление в физике твердого тела - изучение качественных изменений под давлением электронного спектра при помощи прямых измерений (спектроскопия давлением). Работы по фазовым переходам 2,5 - города доказали не только их наличие, но и возможность их наблюдения под давлением с помощью исследования кинетических явлений, таких, как термо-ЭДС, когда условия для прямых наблюдений поверхности Ферми (хорошие монокристаллы, гидростатика) невозможно осуществить. Эти исследования получили еще более широкое распространение в физике полупроводников, одной из самых динамично развивающихся сегодня областей физики твердого тела. Полупроводники обладают большим числом малых параметров, использование которых при исследованиях под давлением очень перспективно.

Поверхности Ферми большинства обыкновенных металлов в настоящее время известны с достаточной степенью точности. Развито много методов исследования, в том числе и не описанных в настоящей статье. Металлы играют важную роль в современной науке и технике, и познание их фундаментальных свойств представляет и научный и прикладной интерес. Теория поверхности Ферми предопределила успех экспериментальных исследований, в результате которых получено много информации об электронных свойствах металлов. Это свидетельствует об успехах в нахождении достаточно простых закономерностей вместо кажущейся сложности и дисгармонии.

1. Каганов М.И., Филатов А.П., Поверхность Ферми, М., 1969.

2. Крэкнелл А., Уонг К., Поверхность Ферми, пер. с англ., М., 1978

3. Лифшиц, Е.М., Питаевский, Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. - М.: Физматлит. - 496 с. - («Теоретическая физика», том IX).

Размещено на .ru