Поточково-проективні зображення маркованих сагайдаків - Автореферат

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ.Основними результатами дисертації є опис всіх Alg-маркованих сагайдаків скінченного та ручного типів відносно поточково-проективних зображень, опис всіх базових алгебр, над якими задача про односторонню еквівалентність матриць є задачею скінченного та ручного типів та опис базових нерозкладних алгебр над якими задача про односторонню еквівалентність радикальних матриць є задачею скінченного типу. До того ж доведено, що у цих випадках всі алгебри, якими марковані вершини сагайдака мають мультиплікативний базис. Для задачи над алгеброй описаны алгебры, для которых эта задача конечного и ручного типа, а для задачи над радикалом описаны алгебры, неразложимые в прямое произведение алгебр, для которых эта задача конечного типа. Рассматривается колчан каждая вершина которого маркирована алгеброй из класса Alg, а представление такого колчана - это набор, проиндексированный вершинами колчана, проективных модулей (над соответствующими алгебрами) и набор линейных отображений, проиндексированный стрелками колчана. К этому классу принадлежат алгебры, которыми маркированы колчаны поточечно-проективного ручного типа.У цій же роботі він показав, що сагайдак має скінчений зображувальний тип тоді і лише тоді, коли він є неперетинним обєднанням сагайдаків, відповідний неорієнтовний граф кожного з яких є схемою Динкіна. Зображення сагайдаків виникають при розгляді багатьох задач і особливо класифікаційних задач теорії зображень. У свою чергу, задачі, повязані з зображеннями сагайдаків, часто можна звести до інших класифікаційних задач лінійної алгебри (зображень частково впорядкованих множин, пар частково впорядкованих множин, тощо). Ройтер ввів поняття маркованого сагайдака та його зображень, а В.М.Бондаренко ввів (більш загальне) поняття дисперсійного зображення сагайдака. Такі зображення включають у себе як звичайні зображення сагайдаків, так і зображення поповнених частково впорядкованих множин (зокрема, з інволюцією чи відношенням еквівалентності), зображення вязок напівланцюгів, тощо.Якщо за брати довільні гомоморфізми, то всі відображення вигляду km a n утворюють категорію, яку будемо позначати C; задача про опис її обєктів (з точністю до ізоморфізму) рівносильна задачі про односторонню еквівалентність матриць. Ми розглядаємо задачу про опис обєктів категорії D у випадку, коли - базова алгебра над алгебраїчно замкненим полем; кожна така алгебра є алгеброю шляхів деякого скінченого орієнтованого графа Г із співвідношеннями. У підрозділі 2.2 доведено, що наша задача буде дикою, якщо граф Г містить дві стрілки з однаковою кінцевою вершиною. Твердження 2.3 Нехай - алгебра шляхів графа Г із співвідношеннями і до того ж граф Г або не містить двох стрілок з однаковим початком, або не містить двох стрілок з однаковим кінцем. 5) задача буде скінченного типу лише у випадку, коли ми маємо маркований сагайдак, який є схемою Динкіна; задача буде ручного нескінченного типу лише у випадку, коли ми маємо маркований сагайдак, який є схемою Динкіна або розширеною схемою Динкіна (Наслідок 3.8).У дисертаційній роботі описані всі Alg-марковані сагайдаки скінченного та ручного типів відносно поточково-проективних зображень; описані всі базові алгебри, над якими задача про односторонню еквівалентність матриць є задачею скінченного та ручного типів; описані базові нерозкладні алгебри, над якими задача про односторонню еквівалентність радикальних матриць є задачею скінченного типу. Поставлені задачі розвязуються шляхом зведення задачі над алгеброю до матричної задачі над полем, після чого можна застосувати потужний апарат дослідження, розроблений на сьогоднішній день. В дисертаційній роботі доведено, що задача про опис поточково-проективних зображень Alg-маркованого сагайдака буде дикою задачею, якщо хоча б одна алгебра, якими марковані вершини сагайдака, задана графом зі співвідношеннями, який містить дві стрілки з однаковою початковою вершиною. Знайдено опис на мові матриць та елементарних перетворень задачі про опис поточково-проективних зображень А-маркованого сагайдака та задач про односторонню еквівалентність матриць над алгеброю і її радикалом.

2. Основний зміст роботи

У дисертаційній роботі описані всі Alg-марковані сагайдаки скінченного та ручного типів відносно поточково-проективних зображень; описані всі базові алгебри, над якими задача про односторонню еквівалентність матриць є задачею скінченного та ручного типів; описані базові нерозкладні алгебри, над якими задача про односторонню еквівалентність радикальних матриць є задачею скінченного типу.

Поставлені задачі розвязуються шляхом зведення задачі над алгеброю до матричної задачі над полем, після чого можна застосувати потужний апарат дослідження, розроблений на сьогоднішній день. В дисертаційній роботі доведено, що задача про опис поточково-проективних зображень Alg-маркованого сагайдака буде дикою задачею, якщо хоча б одна алгебра, якими марковані вершини сагайдака, задана графом зі співвідношеннями, який містить дві стрілки з однаковою початковою вершиною. Для базових алгебр, які задовольняють таку властивість, доведено існування мультиплікативного базису, що складається з шляхів графа, яким задана алгебра. Також доведено, що такі алгебри можна задати співвідношеннями, що мають вигляд рівності нулю деяких шляхів в графі. Клас таких алгебр позначено A. Доведено, що для опису всіх Alg-маркованих сагайдаків скінченного або ручного поточково-проективного типу достатньо описати лише звязні сагайдаки.

Доведено, що при заміні алгебр, якими марковані вершини сагайдака, полем тип задачі "не погіршиться". Таким чином, вдалося встановити, що неорієнтований граф, відповідний звязному Alg-маркованому сагайдаку скінченного типу, є схемою Динкіна, а неорієнтований граф, відповідний звязному Alg-маркованому сагайдаку ручного типу, є схемою Динкіна або розширеною схемою Динкіна. Знайдено опис на мові матриць та елементарних перетворень задачі про опис поточково-проективних зображень А-маркованого сагайдака та задач про односторонню еквівалентність матриць над алгеброю і її радикалом. Доведено, що задача про опис поточково проективних зображень Alg-маркованого сагайдака рівносильна такій же задачі для сагайдака маркованого нерозкладними алгебрами. Вказано процедуру, за допомогою якої можна за Alg-маркованим сагайдаком побудувати сагайдак, маркований нерозкладними алгебрами, для якого задача опису зображень має той самий зображувальний тип. Таким чином, задачу зведено до випадку, коли сагайдак звязний і маркований нерозкладними алгебрами.

1. Дяченко С.М. Алгебри скінченного типу відносно односторонньої еквівалентності матриць / С.М.Дяченко // Науковий вісник Ужгородського ун-ту. Серія: математика і інформатика. - 2006. - Вип. 12-13. - С. 65-70.

2. Дяченко С.М. Пари алгебр скінченного типу / С.М.Дяченко // Науковий вісник Ужгородського ун-ту. Серія: математика і інформатика. - 2007. - Вип. 14-15. - С. 41-54.

3. Дяченко С.М. Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць / С.М. Дяченко // Проблеми топології та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - К., 2006. - Т. 3, № 3. - С. 115-131.

4. Дяченко С.М. Звязні алгебри скінченного типу відносно односторонньої еквівалентності радикальних матриць / С.М. Дяченко // Комплексний аналіз і течії з вільними границями: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - К., 2006. - Т. 3, № 4. - С.170-174.

5. Дяченко С.М. Ручні та дикі орієнтовані графи відносно поточково-проективних зображень / Дяченко С.М. - К.: Ін-т математики НАН України, 2008. - 20 с. - (Препринт / НАН України, Ін-т математики; 2008.1)

6. Дяченко С.М. Задача про односторонню еквівалентність матриць / С.М. Дяченко // Шевченківська Весна: міжнародна науково-практична конференція студентів, аспірантів та молодих вчених, присвячена 15-й річниці незалежності України, 2-3 бер. 2006 р.: тези доп. - К., 2006. - Вип. IV, Ч. 1. - С.313.

7. Дяченко С.Н. О некоторых матричных задачах над конечномерными алгебрами / С.Н. Дяченко // Ломоносоские чтения: V международная научная конф., 3-5 мая 2006г.: тезисы докл. - Севастополь, 2006. - С.142-143.

8. Дяченко С.М. Про одну класифікаційну задачу над алгебрами / С.М. Дяченко // XI Міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука: міжнародна конф., 18 - 20 тр. 2006р. : тези доп. - К.,2006. - С. 419.

9. Bondarenko V.M. On a matrix problem over the radical of algebras / V.M. Bondarenko, S.N. Dyachenko // Int. Conf. Radicals ICOR-2006 : міжнародна конф., 30 лип. - 5 серп. 2006р.: тези доп.- K., 2006. - С. 24.

10. Dyachenko Sergiy. Representations of marked quivers / Sergiy Dyachenko // 6th Int. Algebraic Conf. in Ukraine: міжнародна конф., 1-7 лип. 2007 р. : тези доп. - Камянець-Подільський, 2007. - С. 75.

Размещено на .ru