Построение условно-экстремальных функций Ляпунова при изучении поведения траекторий непрерывных динамических систем на плоскости - Статья

ПОСТРОЕНИЕ УСЛОВНО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИВ работе решается задача построения условно-экстремальной функции Ляпунова для непрерывной динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений второго порядка. Это квадратичной функции Ляпунова, гарантирующая минимальность времени до попадания траектории линеаризованной в окрестности состояния равновесия системы, в сечение функции Ляпунова, вписанное в заданную полосу. В отношении квадратичной функции Ляпунова предполагается выполнение условия равенства отношения минимума модуля первой производной функции Ляпунова на сечении к значению самой функции заданному числу. Условно-экстремальная функции Ляпунова ищется как квадратичная функция Ляпунова рассматриваемого класса, на сечение которой, вписанное в полосу, попадает траектория линеаризованной в окрестности состояния равновесия системы с заданной начальной точкой.В настоящей работе решается задача построения квадратичной функции Ляпунова, гарантирующей минимальность времени до попадания траектории линеаризованной системы второго порядка в сечение функции Ляпунова, вписанное в полосу, при условии равенства отношения минимума модуля первой производной функции Ляпунова на сечении к значению самой функции заданному числу. Для определения момента окончания переходного процесса в системе необходим критерий, гарантирующий не только попадание в полосу (4) траектории линеаризованной системы (2) с начальной точкой , но и тот факт, что в дальнейшем траектория этой полосы не покинет. Задача состоит в нахождении параметров квадратичной функции Ляпунова класса (5), удовлетворяющей условию и гарантирующей минимальность времени до попадания траектории линеаризованной системы (2) в сечение функции Ляпунова, вписанное в полосу (4) (т.е. условно-экстремальной функции Ляпунова). (11) а сечение функции Ляпунова (5) , вписанное в полосу (4), переходит в сечение функции (10) , вписанное в полосу (9), причем (12) где - первая производная (4) в силу (2), а - первая производная (10) в силу (8). Если сечения рассматриваемого класса, проходящего через точку пересечения траектории с границей полосы не существует, то движение вдоль траектории продолжается до момента попадания на огибающую семейства сечений функций Ляпунова (10),(13), вписанных в полосу, а именно на одну из кривыхПриведенные выше рассуждения показывают, что, как и в случае дискретных динамических систем [10], в случае непрерывных динамических систем на плоскости задача построения условно-экстремальной функции Ляпунова допускает аналитическое решение. Причем построенная таким образом квадратичная функция Ляпунова удобна для применения в задаче нахождения длительности переходных процессов в системе. Лобашов // Техника средств связи. К анализу быстродействия синтезатора при переключениях по диапазону / В. И. К анализу формы и длительности переходных процессов при переключениях синтезатора с делителем частоты и пропорционально-интегрирующим фильтром по диапазону / О. Г.

При исследовании динамики систем одной из наиболее важных является проблема определения длительности переходных процессов в системе. Причем критерием окончания переходного процесса в системе может оказаться попадание траектории на заданное, быть может, неограниченное множество, содержащее состояние равновесия, соответствующее рабочему режиму системы [1-3]. И тот факт, что траектория попала на заданное множество, не гарантирует того, что она в дальнейшем этого множества не покинет. Таким образом, возникает задача оценивания подобластей притяжения, гарантирующих окончания переходного процесса с заданной точностью. Для решения этой задачи может быть использован второй (прямой) метод Ляпунова или метод функций Ляпунова [4-6], когда изучается поведение некоторой вспомогательной функции вдоль траекторий системы. При этом функцию Ляпунова нелинейной динамической системы часто ищут [5, C. 120-132] в классе положительно определенных квадратичных форм, исходя из того условия, что построенная квадратичная форма является функцией Ляпунова для соответствующей линеаризованной системы. Кроме того, может ставиться вопрос о построении квадратичных функций Ляпунова с некоторыми заданными свойствами, которые определяются особенностями задачи [7-9].

В настоящей работе решается задача построения квадратичной функции Ляпунова, гарантирующей минимальность времени до попадания траектории линеаризованной системы второго порядка в сечение функции Ляпунова, вписанное в полосу, при условии равенства отношения минимума модуля первой производной функции Ляпунова на сечении к значению самой функции заданному числу. Такая функция Ляпунова была названа условно-экстремальной [10].

Постановка задачи

Пусть нелинейная непрерывная динамическая система задана системой дифференциальных уравнений

(1) имеющей асимптотически устойчивое состояние равновесие И пусть функции fiимеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда система (1) допускает линеаризацию в окрестности состояния равновесия [4, C. 74-75]. И пусть соответствующая ей линеаризованная система имеет вид

(2)

Зададим начальную точку . Известно [4, С. 71], что поведение траекторий системы (2) в окрестности состояния равновесия определяется видом корней характеристического уравнения

(3)

В дальнейшем будем предполагать, что корни (3) простые и, кроме того, , т.е. состояние равновесия асимптотически устойчиво. ляпунов производная модуль сечение

Пусть также задана полоса

(4)

Для определения момента окончания переходного процесса в системе необходим критерий, гарантирующий не только попадание в полосу (4) траектории линеаризованной системы (2) с начальной точкой , но и тот факт, что в дальнейшем траектория этой полосы не покинет. Для его получения воспользуемся методом функций Ляпунова. Рассмотрим множество квадратичных функций Ляпунова

(5) построенных для системы (2). Задача состоит в нахождении параметров квадратичной функции Ляпунова класса (5), удовлетворяющей условию и гарантирующей минимальность времени до попадания траектории линеаризованной системы (2) в сечение функции Ляпунова, вписанное в полосу (4) (т.е. условно-экстремальной функции Ляпунова).

Методика построения условно-экстремальной функции Ляпунова

1. В случае, когда вещественные, , система (2) линейным невырожденным преобразованием координат

(6) где - произвольные постоянные, а (7) может быть приведена к каноническому виду

(8)

При этом полоса (4) на плоскости перейдет в полосу

(9) на плоскости ?,?, функция (5) преобразуется как , где есть положительно определенная квадратичная форма

(10) которая является функцией Ляпунова (8), т.е. [7]

(11) а сечение функции Ляпунова (5) , вписанное в полосу (4), переходит в сечение функции (10) , вписанное в полосу (9), причем (12) где - первая производная (4) в силу (2), а - первая производная (10) в силу (8). Условие (11) гарантирует тот факт, что (10) есть функция Ляпунова для канонической системы (8).

Согласно [7,8] функция удовлетворяет условию , если (13)

Будем искать сечение , вписанное в полосу (9), такое, что траектория (8) с начальной точкой (координаты которой ищутся по в силу (6)) не принадлежащей полосе, попадет в него за минимальное время tmin. А поскольку для сечения квадратичной функции (10), вписанного в полосу , то математическая постановка задачи суть

(14)

Причем если через точку пересечения траектории с границей полосы проходит вписанное в полосу сечение функции Ляпунова рассматриваемого класса, то соответствующая функция Ляпунова является условно-экстремальной. Для точек (?,?) прямой подобная ситуация имеет место только, если ? - любое при (? ищется из уравнения ), для точек прямой ? - любое при (? ищется из уравнения ). Соответствующие значения могут быть найдены по формулам

Если сечения рассматриваемого класса, проходящего через точку пересечения траектории с границей полосы не существует, то движение вдоль траектории продолжается до момента попадания на огибающую семейства сечений функций Ляпунова (10),(13), вписанных в полосу, а именно на одну из кривых

(19) и при этом , либо (20) и .

Соответствующие значения K2 можно легко найти в силу (13).

На рис. 1 показано, как располагается огибающая семейства эллипсов при различных допустимых значениях ?. При этом, в случае , кривые (19), (20) вырождаются в прямые , а в случае ? = 0 область, ограниченная прямыми и огибающей, дает максимально возможную для класса квадратичных функций Ляпунова оценку области притяжения устойчивого состояния равновесия, целиком принадлежащую полосе. Для кривых, изображенных на рис.1, .

Рис. 1 - Расположение огибающей семейства эллипсов при допустимых значениях ? в случае действительных значений

Таким образом, для построения условно-экстремальной функции Ляпунова для исходной нелинейной системы (1) можно поступить следующим образом. Поскольку при , уравнение имеет конечное число корней. Пусть - наибольший из них. Рассмотрим точку пересечения траектории с границей полосы. Если эта точка принадлежит одному из множеств (15)-(18), то условно-экстремальной будет являться функция, коэффициенты которой ищутся из формулы

(21)

при учете (13). Если же эта точка не принадлежит ни одному из рассмотренных множеств, то ищется точка пересечения траектории системы с одной из кривых (19), (20), и строится функция Ляпунова с коэффициентами, соответствующими точкам этих кривых.

2. В случае, когда , система (2) линейным невырожденным преобразованием координат [4, С. 74-75]

(22) где произвольные постоянные, приводится к виду

(23)

При этом функция (6) преобразуется как , где - положительно определенная квадратичная форма

(24)

Полоса (4) на плоскости перейдет в полосу

(25) на плоскости u,v, а сечение функции Ляпунова (4) , вписанное в полосу (4), перейдет в сечение функции (24) , вписанное в полосу (25), причем (26)

Подобно предыдущему случаю можно показать [7], что является функцией Ляпунова, если имеет место

(27)

Более того, условие имеет место на любом сечении , если (28) причем , где

(29)

Принимая во внимание (28)-(29), а также тот факт, что для любого сечения , вписанного в полосу, (30) получаем следующую математическую постановку задачи нахождения условно-экстремальной функции Ляпунова для траектории с заданной начальной точкой

(31) где .

Для точек прямой сечение квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющее условию и вписанное в полосу, существует только, если (32) а для точек прямой , если (33)

Если сечения рассматриваемого класса, проходящего через точку пересечения траектории отображения с границей полосы не существует, то движение вдоль траектории продолжается до момента попадания на огибающую семейства сечений функций Ляпунова (27), вписанных в полосу, а именно на одну из кривых

Легко проверить, что отрезки прямых (32),(33) и куски кривых (34),(35) стыкуются в точках прямых

.

На рис. 2 приведен вид огибающей для = 1, ?=-1,? = , ? = 0, 0.5, 2.

Заметим, что область, ограниченная прямыми и огибающей семейства сечений в случае ? = 0 дает максимально возможную для класса квадратичных функций Ляпунова оценку множества, принадлежащего полосе и обладающего тем свойством, что траектория системы (23) не сможет его покинуть с течением времени. Случай ? = в данном случае является особым. В этом случае c(?) = 4 и существует единственное значение K2=1, для которого сечение вписано в полосу.

Рис. 2 - Расположение огибающей семейства эллипсов при допустимых значениях ? в случае комплексных значений

Непосредственно о построении условно-экстремальной функции Ляпунова для траектории нелинейной системы, соответствующей (23), с начальной точкой (координаты которой ищутся по в силу (22)), можно отметить следующее. Воспользуемся тем, решение системы (23) с начальной точкой может быть записано как (36)

Легко видеть, что точки пересечения (36) с одной из границ полосы, а также соответствующие значения t>0 могут быть найдены из уравнений

(37)

Т.к. , то существует конечное число решений (37), причем интерес представляет t0, являющееся максимальным из них.

Если значение t0 таково, что u(t0) принадлежит одному из отрезков (32),(33) прямых , то соответствующие значения K2 легко можно найти из соотношений для соответственно.

Если значение t0 таково, что u(t0) не принадлежит ни одному из отрезков (32),(33), то ищется точка пересечения траектории (36) с любой из кривых (34),(35) в полосе. Поскольку попадание траектории внутрь области, ограниченной огибающей и отрезками (32),(33) прямых гарантирует ее невыход из этой области, то существует единственное значение , отвечающее решению задачи.

Приведенные выше рассуждения показывают, что, как и в случае дискретных динамических систем [10], в случае непрерывных динамических систем на плоскости задача построения условно-экстремальной функции Ляпунова допускает аналитическое решение. Причем построенная таким образом квадратичная функция Ляпунова удобна для применения в задаче нахождения длительности переходных процессов в системе.

Список литературы / References

1. Горюнов В. И. Техническая полоса захвата одноконтурного синтезатора частоты / В. И. Горюнов, В. Н. Ерусланов, Н. И. Лобашов // Техника средств связи. Сер. Техника радиосвязи. - 1990. - Вып. 2. - С. 88-94.

2. Горюнов В. И. К анализу быстродействия синтезатора при переключениях по диапазону / В. И. Горюнов, В. Н. Ерусланов, М. Н. Зайцева // Техника средств связи. Сер. Техника радиосвязи. - 1986. - Вып. 3. - С. 44-49.

3. Антоновская О. Г. К анализу формы и длительности переходных процессов при переключениях синтезатора с делителем частоты и пропорционально-интегрирующим фильтром по диапазону / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов, Н. И. Лобашов // Динамика систем: Межвуз. сб. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. - С.59-72.

4. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. / А. М. Ляпунов.. - М.-Л.: Изд-во техн.-теор. лит., 1950. - 472 с.

5. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. / Е. А. Барбашин. - М. Наука, 1970. - 240 с.

6. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. / Н. Г. Четаев. - М.: Наука, 1965. - 207 с.

7. Антоновская О. Г. О построении квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами / О. Г. Антоновская // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т.49. - № 9. - С. 1220-1224.

8. Антоновская О. Г. Об определении коэффициентов квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами / О. Г. Антоновская // Дифференциальные уравнения. - 2016. - Т.52. - № 3. - С. 276-281.

9. Сарыбеков Р.А. Экстремальные квадратичные функции Ляпунова систем уравнений второго порядка. / Р.А. Сарыбеков // Сиб. матем. хурн. - 1977. - Т. 18. - № 5. - С. 1159-1167.

10. Антоновская О. Г. О построении и применении условно-экстремальной функции Ляпунова при изучении динамики системы с помощью точечного отображения плоскости в плоскость / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов // Математическое моделирование и оптимальное управление. Вестник ННГУ. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. - 2006. - №3(32). - С. 110-117.

Размещено на .ru