Раскрытие статической неопределенности в условиях нагружения рамной конструкции. Расчет перемещений под действием изгибающих моментов. Определение опорных реакций. Кинематическая проверка решения при нахождении моментов, продольных и поперечных сил.
Аннотация к работе
Определяем степень статически неопределимой системы по формуле: (1) подставляя численные значения, получим: Выбираем основную систему (рисунок 2, б), отбрасывая опоры С и D. Действие этих опор заменяем силами Х 1 и Х 2, получаем эквивалентную систему (рисунок 2, в). Проверка коэффициентов при неизвестных состоит в том, что результат умножения эпюры на эту же эпюру должен равняться сумме всех коэффициентов при неизвестных. Определяем свободные члены: Проверку свободных членов уравнений производим путем умножения эпюры MF, на эпюру и путем сложения свободных членов: (6) подставляя числовые значения, получим Составляем сумму моментов относительно точки B. подставим числовые значения, получим: Составляем сумму моментов относительно точки А: подставим числовые значения, получим: Составляем сумму проекций на ось х: подставим числовые значения, получим: Выполняем проверку найденных реакций опор, составляя сумму проекций на ось y: подставляя числовые значения, имеем т.е. реакции опор найдены верно.
Введение
Задача: для заданной рамы построить эпюры изгибающих моментов, продольных и поперечных сил, а также произвести промежуточные и окончательные проверки.
Исходные данные: q = 30 КН/м;
a = 1 м;
M= qa2;
F=qa.
Схема нагружения рамы показана на рисунке 1.
Рисунок 1 - Схема нагружения рамы
1. Раскрытие статической неопределенности
Рама имеет в своих опорных закреплениях пять связей, из которых две оказываются лишними. Следовательно, система дважды статически неопределима.
Определяем степень статически неопределимой системы по формуле: (1) подставляя численные значения, получим: Выбираем основную систему (рисунок 2, б), отбрасывая опоры С и D. Действие этих опор заменяем силами Х 1 и Х 2, получаем эквивалентную систему (рисунок 2, в). Канонические уравнения для эквивалентной системы принимают такой вид: (2)
Основные перемещения в раме обуславливаются изгибом, поэтому коэффициенты при неизвестных и свободные члены представляются согласно интеграла Мора следующим образом: (3)
(4)
Строим для основной системы эпюры изгибающих моментов от сил и , действующих по направлению неизвестных, а также от заданной нагрузки. Эти эпюры, обозначенные соответственно , и MF, показаны на рисунке 2, г, д, е. Вычисление перемещений, определяемых формулами (2) и (3), производим в простых случаях по правилу А. Н. Верещагина, а в более сложных случаях - по формуле Симпсона.
При перемножении эпюр следует придерживаться такого правила: если обе эпюры одного знака, т.е. если они отложены с одной и той же стороны стержня, то произведение и соответствующее перемещение считают положительным, если перемножаемые эпюры разных знаков, то отрицательным. Естественно, что главные перемещения и , получаемые умножением эпюры на и эпюры на , всегда положительны.
Для удобства вычисляем перемещения, увеличенные в EJ раз:
Для проверки найденных коэффициентов строим суммарную единичную эпюру от совместного действия сил и (рисунок 2, ж). Проверка коэффициентов при неизвестных состоит в том, что результат умножения эпюры на эту же эпюру должен равняться сумме всех коэффициентов при неизвестных. Действительно, а с другой стороны: (5) подставляя численные значения, получим: То есть коэффициенты определены верно.
Определяем свободные члены:
Проверку свободных членов уравнений производим путем умножения эпюры MF, на эпюру и путем сложения свободных членов: (6) подставляя числовые значения, получим
Подставляем найденные коэффициенты в каноническое уравнение и, сокращая на EJ, получим: нагружение рамная момент сила
Решая эти уравнения, получим: Х 1 = 9 КН;
Х 2 = 64 КН.
Раскрытие статической неопределенности на этом заканчивается.
2. Определение опорных реакций
После нахождения неизвестных Х1, и Х2, которые в данном случае являются реакциями опор В и Е, остальные реакции определятся из уравнения равновесия статики.
Составляем сумму моментов относительно точки B.
подставим числовые значения, получим: Составляем сумму моментов относительно точки А:
подставим числовые значения, получим: Составляем сумму проекций на ось х:
подставим числовые значения, получим: Выполняем проверку найденных реакций опор, составляя сумму проекций на ось y:
подставляя числовые значения, имеем т.е. реакции опор найдены верно.
Расчетная схема рамы со всеми реакциями изображена на рисунке 2, и.
3. Построение эпюр изгибающих моментов, продольных и поперечных сил
Строим эпюру поперечных сил Q (рисунок 2, к).
Строим эпюру продольный сил N (рисунок 2, л).
Строим эпюру изгибающих моментов М (рисунок 2, м).
Эпюру изгибающих моментов строим согласно выражению: (7)
4. Проверка решения
Выполним статическую проверку методом вырезания узлов рамы (рисунок 3).
Рисунок 3 - Статическая проверка решения
Выполним кинематическую проверку, которая состоит в проверке равенства нулю условного перемещения основной, или, что тоже самое, заданной системы по направлению всех неизвестных, т.е. в выполнении условия: (8)
Перемножая суммарную эпюру изгибающих моментов М на эпюру , получим: Погрешность составляет: Погрешность не выходит за допустимые пределы.