Построение эпюр изгибающих моментов, продольных и поперечных сил при заданных условиях нагружения рамы - Задача

Определяем степень статически неопределимой системы по формуле: (1) подставляя численные значения, получим: Выбираем основную систему (рисунок 2, б), отбрасывая опоры С и D. Действие этих опор заменяем силами Х 1 и Х 2, получаем эквивалентную систему (рисунок 2, в). Проверка коэффициентов при неизвестных состоит в том, что результат умножения эпюры на эту же эпюру должен равняться сумме всех коэффициентов при неизвестных. Определяем свободные члены: Проверку свободных членов уравнений производим путем умножения эпюры MF, на эпюру и путем сложения свободных членов: (6) подставляя числовые значения, получим Составляем сумму моментов относительно точки B. подставим числовые значения, получим: Составляем сумму моментов относительно точки А: подставим числовые значения, получим: Составляем сумму проекций на ось х: подставим числовые значения, получим: Выполняем проверку найденных реакций опор, составляя сумму проекций на ось y: подставляя числовые значения, имеем т.е. реакции опор найдены верно.

Задача: для заданной рамы построить эпюры изгибающих моментов, продольных и поперечных сил, а также произвести промежуточные и окончательные проверки.

Исходные данные: q = 30 КН/м;

a = 1 м;

M= qa2;

F=qa.

Схема нагружения рамы показана на рисунке 1.

Рисунок 1 - Схема нагружения рамы

1. Раскрытие статической неопределенности

Рама имеет в своих опорных закреплениях пять связей, из которых две оказываются лишними. Следовательно, система дважды статически неопределима.

Определяем степень статически неопределимой системы по формуле: (1) подставляя численные значения, получим: Выбираем основную систему (рисунок 2, б), отбрасывая опоры С и D. Действие этих опор заменяем силами Х 1 и Х 2, получаем эквивалентную систему (рисунок 2, в). Канонические уравнения для эквивалентной системы принимают такой вид: (2)

Основные перемещения в раме обуславливаются изгибом, поэтому коэффициенты при неизвестных и свободные члены представляются согласно интеграла Мора следующим образом: (3)

(4)

Строим для основной системы эпюры изгибающих моментов от сил и , действующих по направлению неизвестных, а также от заданной нагрузки. Эти эпюры, обозначенные соответственно , и MF, показаны на рисунке 2, г, д, е. Вычисление перемещений, определяемых формулами (2) и (3), производим в простых случаях по правилу А. Н. Верещагина, а в более сложных случаях - по формуле Симпсона.

При перемножении эпюр следует придерживаться такого правила: если обе эпюры одного знака, т.е. если они отложены с одной и той же стороны стержня, то произведение и соответствующее перемещение считают положительным, если перемножаемые эпюры разных знаков, то отрицательным. Естественно, что главные перемещения и , получаемые умножением эпюры на и эпюры на , всегда положительны.

Для удобства вычисляем перемещения, увеличенные в EJ раз:

Для проверки найденных коэффициентов строим суммарную единичную эпюру от совместного действия сил и (рисунок 2, ж). Проверка коэффициентов при неизвестных состоит в том, что результат умножения эпюры на эту же эпюру должен равняться сумме всех коэффициентов при неизвестных. Действительно, а с другой стороны: (5) подставляя численные значения, получим: То есть коэффициенты определены верно.

Определяем свободные члены:

Проверку свободных членов уравнений производим путем умножения эпюры MF, на эпюру и путем сложения свободных членов: (6) подставляя числовые значения, получим

Подставляем найденные коэффициенты в каноническое уравнение и, сокращая на EJ, получим: нагружение рамная момент сила

Решая эти уравнения, получим: Х 1 = 9 КН;

Х 2 = 64 КН.

Раскрытие статической неопределенности на этом заканчивается.

2. Определение опорных реакций

После нахождения неизвестных Х1, и Х2, которые в данном случае являются реакциями опор В и Е, остальные реакции определятся из уравнения равновесия статики.

Составляем сумму моментов относительно точки B.

подставим числовые значения, получим: Составляем сумму моментов относительно точки А:

подставим числовые значения, получим: Составляем сумму проекций на ось х:

подставим числовые значения, получим: Выполняем проверку найденных реакций опор, составляя сумму проекций на ось y:

подставляя числовые значения, имеем т.е. реакции опор найдены верно.

Расчетная схема рамы со всеми реакциями изображена на рисунке 2, и.

3. Построение эпюр изгибающих моментов, продольных и поперечных сил

Строим эпюру поперечных сил Q (рисунок 2, к).

Строим эпюру продольный сил N (рисунок 2, л).

Строим эпюру изгибающих моментов М (рисунок 2, м).

Эпюру изгибающих моментов строим согласно выражению: (7)

4. Проверка решения

Выполним статическую проверку методом вырезания узлов рамы (рисунок 3).

Рисунок 3 - Статическая проверка решения

Выполним кинематическую проверку, которая состоит в проверке равенства нулю условного перемещения основной, или, что тоже самое, заданной системы по направлению всех неизвестных, т.е. в выполнении условия: (8)

Перемножая суммарную эпюру изгибающих моментов М на эпюру , получим: Погрешность составляет: Погрешность не выходит за допустимые пределы.

Размещено на .ru