Поняття та застосування похідної - Курсовая работа

Розділ алгебри та початків аналізу “Похідна та її застосування” займає значне місце у курсі математики, в першу чергу тому, що має велике прикладне значення. Програма з математики для загальноосвітньої школи відводить на вивчення теми “Похідна та її застосування” приблизно, 26 годин (загальноосвітньої школи), 46 годин (ліцеї і гімназії з поглибленим вивченням математики).Ряд задач диференціального вирахування був вирішений ще в стародавності. Основне поняття диференціального вирахування - поняття похідної - виникло в XVII ст. у звязку з необхідністю вирішення ряду задач з фізики, механіки і математики, у першу чергу наступних двох: визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху і побудови дотичної до похідної плоскої кривої. Ньютон позначав функції останніми літерами латинського алфавіту u, x, y, z, а їх флюксії, тобто похідні від флюент за часом, - відповідно тими ж літерами з крапкою над ними: Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи в основному з Ферма, розглядає нескінченно малий приріст часу dt, що він позначав знаком х0, відмінним від нуля. Однак давньогрецькі вчені не вирішили задачу до кінця, тобто не знайшли загального методу, придатного для побудови дотичної до будь-якої плоскої кривої в похідній її точці. Можна навести й інші приклади, що показують, яку велику роль грає поняття похідної в науці і техніці: прискорення - є похідна від швидкості за часом, теплоємність тіла - є похідна від кількості тепла по температурі, швидкість радіоактивного розпаду - є похідна від маси радіоактивної речовини за часом і т.п.Точка х0 називається точкою локального максимуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках - її екстремальними значеннями. Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема: Теорема 1.Якщо функція має в точці х0 локальний екстремум, то або , або не існує. Точки, в яких функція визначена та неперервна, і в цих точках або не існує, називаються критичними для функції. Їх дають такі теореми: Теорема 2.Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х0).Нехай функція неперервна на проміжку і диференційована в інтервалі (а,б).для того, щоб функція f була зростаючою(спадною) на проміжку , необхідно і достатньо виконання двох умов: 1. Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатня ознака строгої монотонності): Теорема. Нехай функція f неперервна на проміжку і диференційована в інтервалі (а,б). Знаходять: а)область визначення функції , якщо вона наперед не задана; в)точки, в яких похідна дорівнює нулю, для чого розвязують рівняння , а також точки, в яких функція визначена, але похідна не існує, їх називають критичними точками.Нехай дано функцію , яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. А як відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення. Тому й необхідно досліджувати поведінку функції на конкретному проміжку [a;b] або на його кінцях, то чинять так: 1. знаходять критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках; Отже, на інтервалі (-1;1)функція має лише одну критичну точку х=0. знайдемо значення функції в цій точці . Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд: , де х і у - біжучі координати дотичної, f ‘(x0)=k - кутовий коефіцієнт дотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х0, тобто тангенс кута нахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис.Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то (u(x)±(x))’ = u’(x)±n’(x) для любого х є (a; b). Доведення: Суму функцій u(x) n(x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції, Нехай х0 - деяка точка інтервалу (a; b). Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то для любого х є (a; b). Позначимо похідні через х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення. Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка: 1) знайти область визначення функції та множину її значень;Похідна в окремих випадках може бути застосована до розвязування рівнянь, а саме : для встановлення кількості коренів або їх відсутності, для їх знаходження. Так, наприклад, якщо маємо рівняння , де - зростаюча або спадна функція, то , зрозуміло, що рівняння не може мати більше одного кореня, причому можна з впевненістю сказати, що він буде, якщо а належить множині значень функції . Використовують і такий факт: якщо многочлен k-го степеня має k дійсних коренів, то його похідна має їх k-1 .

Зміст

Вступ

Розділ 1. Основні теоретичні відомості

1.1 Походження поняття похідної

1.2 Екстремуми функції

1.3 Зростання та спадання функції

1.4 Найбільше та найменше значення функції

1.5 Означення дотичної, під дотичної, нормалі

Розділ 2. Застосування похідної

2.1 Правила диференціювання

2.2 Дослідження функції та побудова її графіка

2.3 Застосування похідної для розвязування рівнянь

2.4 Текстові задачі на екстремум

Висновок

Список використаної літератури