Понятие вектора - Лекция

Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой - второй (конец). Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором. Вектор обычно обозначается символом , где А - начало, а В - конец направленного отрезка, либо одной буквой (в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец - в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора . Поэтому данное правило сложения двух векторов называют "правилом треугольника". Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что (для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора ). Разность получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора , при условии, что векторы и имеют общее начало (рис. Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое "правилом параллелограмма": векторы и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм (рис.Любое множество, элементами которого являются векторы, называется системой векторов. , то говорят, что вектор представлен (разложен) в виде линейной комбинации векторов системы . Разумеется, нулевой вектор может быть представлен в виде тривиальной линейной комбинации любой системы векторов. Определение: Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация векторов системы обращается в нуль, т.е. имеет место равенство: , . Определение: Система векторов называется линейно независимой, если равенство нулю линейной комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из того: , .Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную тройку чисел - коэффициенты представления этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса.Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит ?. Если один из векторов нулевой, то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой, то векторы называются ортогональными. Определение: Ортогональной проекцией вектора на направление вектора называется скалярная величина: , ? - угол между векторами (рис.Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю. вектор произведение координатное базис Скалярное произведение обладает следующими свойствами: 1. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям: , где ? - угол между векторами и ; вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ; Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }. Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.Определение: число называется смешанным произведением векторов , и . Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая. Пример: Если - ортонормированный базис, то или , смотря по тому, правый это базис или левый.Определение: Вектор называется двойным векторным произведением векторов , и .

Содержание

1. Понятие вектора

2. Простейшие операции над векторами

3. Линейная зависимость векторов

4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе

5. Проекция вектора

6. Скалярное произведение

7. Векторное произведение

8. Смешанное произведение

9. Двойное векторное произведение

Литература

1. Понятие вектора

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. - М, Наука, 1968, 912 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. - М, Высшая школа, 1967, 655 с.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М, Наука, 1971, 328 с.

Размещено на .ru