Тензор как объект линейной алгебры. Общее определение тензора. Анализ тензоров первого и второго ранга, тензоров напряжения. Риманова метрика. Линейные операторы на векторах. Тензоры типа (0, k). Требования к ковариантному дифференцированию тензоров.
Понятие тензораРиманова метрика () в данных координатах х1, х2, х3 была нужна для того, чтобы определить понятие длины вектора в данной точке (х): если вектор в точке (х1, х2, х3), то . В этом случае длина не будет зависеть от выбора системы координат , где - запись ковектора в координатах х1, х2, х3 в точке (х), - запись того же ковектора в той же точке, но в координатах (z1, z2, z3). Тензором (тензорным полем) типа ранга называется объект, который задается набором чисел в произвольной системе координат (х1, …, xn), числовая запись которого зависит от системы координат по следующему закону: если xi = xi(z1, …, zn), zj = zj(x1, …, xn), , то имеет место следующая формула: , (1) где - числовая запись тензора в координатах (z), а - числовая запись тензора в координатах (х). Отметим, что тензор есть объект, прикрепленный к точке, и не существует правила сложения тензоров, прикрепленных к разным точкам. Если базисные координатные векторы в n-мерном пространстве с системой координат x1, …, xn обозначить через е1, е2, …, en - базисные векторы, а базисные ковекторы обозначить через е1, е2, …, en, то любой тензор можно записать в следующем виде: вектор , ковектор , квадратичная форма для векторов , квадратичная форма для ковекторов , линейный оператор .
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
