Понятие приближенного решения некорректно поставленных задач - Курсовая работа

Задача определения решения z=R(u) из пространства F по исходным данным ИIU называется устойчивой на пространствах (F, U), если для любого числа e > О можно указать такое число d (e) > 0, что из неравенства RU(u1,u2)<= d (e) следует RF(z1,z2)<= e, где z1=R(u1), z2=R(u2); u1,u2IU; z1,z2IF. Задача определения решения z из пространства F по «исходным данным» и из пространства U называется корректно поставленной на паре метрических пространств (F, U), если удовлетворяются требования (условия): квазирешение регуляризирующий алгебраический уравнение 1) для всякого элемента и IU существует решение z из пространства F, 2) решение определяется однозначно; В этом случае оператор А-1 непрерывен на множестве N=AM и, если вместо элемента UT нам известен элемент ud такой, что RU( UT, ud)<=d и UDIN, то в качестве приближенного решения уравнения (2; 0,1) с правой частью u= ud можно взять элемент zd=A-1ud . Таким образом, в качестве приближенного решения на множестве М1 уравнения (2; 1,1) с приближенно известной правой частью u1 I АМ1 можно брать точное решение этого уравнения с правой частью u=u1 . Эта последняя задача эквивалентна задаче нахождения на множестве M1 функции, минимизирующей функционалОчевидно, что в качестве приближенного решения zd уравнения (3; 0,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и= ud, т. е. элемент ZT, определяемый по формуле zd=A-1 ud так как оно существует не для всякого элемента u IU и не обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и. Эта согласованность должна быть такой, чтобы при da0, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части ud уравнения (3; 0,1) к точному значению UT, приближенное решение zd стремилось бы (в метрике пространства F) к искомому точному решению zt уравнения AZT =UT. Оператор R(и, d), действующий из пространства U в пространство F, называется регуляризирующим для уравнения Az = и (относительно элемента UT), если он обладает свойствами: 1) существует такое число d1 > 0, что оператор R(u, d) определен для всякого d, 0<=d<=d1, и любого UDIU такого, что RU(ud,UT)<= d; Оператор R(u, a), зависящий от параметра a и действующий из U в F, называется регуляризирующим для уравнения Az=и (относительно элемента UT), если он обладает свойствами: 1) существуют такие числа d1>0, a1>0, что оператор R(u, a ) определен для всякого a, принадлежащего промежутку (0, a1), и любого UIU, для которого RU(u,UT)<=d1; Известно, с какими трудностями связано решение так называемых плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений: малым изменениям правых частей таких систем могут отвечать большие (выходящие за допустимые пределы) изменения решения.Для реализации численного примера был выбран метод Тихонова решения плохо обусловленных СЛАУ. В качестве исходной была взята СЛАУ Az=u, имеющая в матричной записи вид: Определитель матрицы коэффициентов этой системы близок к нулю - он равен 0.000125. Попробуем решить эту систему с помощью обратной матрицы: z=A-1u Теперь предположим, что правая часть нам известна приближенно, с погрешностью 0.1 Изменим, к примеру, третий элемент вектора-столбца с 1 на 1.1 : Попробуем решить новую систему также с помощью обратного оператора. В теоретической части было показано, что целесообразно использовать регуляризирующий оператор следующего вида: (AE ATA)za=ATUD , где E - единичная матрица, za - приближенное нормальное решение, AT - транспонированная исходная матрица, a - параметр регуляризации, ud - правая часть, заданная неточно.begin for i:=1 to 3 do for j:=1 to 3 do begin begin for v:=1 to 3 do for w:=1 to 3 do begin {for v:=1 to 3 do begin for w:=1 to 3 do write(AA[i,j].value:2:3," "); for v:=1 to 3 do for w:=1 to 3 do begin if AA[v,w].flag then beginРаспечатка результатов пересчета на каждом шаге невязка по 1-му эл-ту 7.75620788018006E-0002 невязка по 2-му эл-ту 9.12970302562861E-0002 невязка по 3-му эл-ту 1.09101153877771E 0000 невязка по 1-му эл-ту 3.51667654246499E-0002 невязка по 2-му эл-ту 4.81631787337596E-0002 невязка по 3-му эл-ту 1.09057642915500E 0000 невязка по 1-му эл-ту 8.14255746519741E-0003 невязка по 2-му эл-ту 1.75271999674588E-0002 невязка по 3-му эл-ту 1.09024740493812E 0000 невязка по 1-му эл-ту 1.64128226088452E-0004 невязка по 2-му эл-ту 1.40420815653456E-0003 невязка по 3-му эл-ту 1.09002512985506E 0000 невязка по 1-му эл-ту 1.09651876415789E-0003 невязка по 2-му эл-ту 8.01044623892439E-0003 невязка по 3-му эл-ту 1.08980075500722E 0000 невязка по 1-му эл-ту 3.24092274239579E-0003 невязка по 2-му эл-ту 1.28969442769472E-0002 невязка по 3-му эл-ту 1.08943309314635E 0000 невязка по 1-му эл-ту 4.29878415191160E-0003 невязка по 2-му эл-ту 1.47864580098997E-0002 невязка по 3-му эл-ту 1.08840358157784E 0000 невязка по 1-му эл-ту 4.64764022304719E-0003 невязка по 2-му эл-ту 1.53489294761093E-0002 невязка по 3-му эл-ту 1.08488736141985E 0000 невязка по 1-му эл-ту 4.70263264899617E-0003 невязка по 2-му эл-ту 1.53524096326819E-000

Для реализации численного примера был выбран метод Тихонова решения плохо обусловленных СЛАУ. В качестве исходной была взята СЛАУ Az=u, имеющая в матричной записи вид: Определитель матрицы коэффициентов этой системы близок к нулю - он равен 0.000125. Попробуем решить эту систему с помощью обратной матрицы: z=A-1u

Получим z1=316 z2=-990 z3=832

Теперь предположим, что правая часть нам известна приближенно, с погрешностью 0.1 Изменим, к примеру, третий элемент вектора-столбца с 1 на 1.1 : Попробуем решить новую систему также с помощью обратного оператора. Мы получаем другой результат: z1=348 z2=-1090 z3=916.

Мы видим, что малому изменению правой части данной системы отвечают весьма значительные изменения решения. Очевидно, эта система - плохо обусловленная, и здесь не может идти речи о нахождении решения близкого к точному с помощью обратного оператора.

Будем искать решение методом Тихонова. В теоретической части было показано, что целесообразно использовать регуляризирующий оператор следующего вида: (AE ATA)za=ATUD , где E - единичная матрица, za - приближенное нормальное решение, AT - транспонированная исходная матрица, a - параметр регуляризации, ud - правая часть, заданная неточно. Эту задачу можно решать стандартными методами, задав предварительно функцию a=a(d) , удовлетворяющую условиям теоремы Тихонова. В моем примере это функция a(d)=d/4d. Далее будем решать регуляризованную задачу с точностью e=0.001 ,последовательно изменяя значения a.

В качестве контр-примера можно подставить в программу любую функцию a(d) , не удовлетворяющую условиям теоремы Тихонова. Любая положительная функция монотонно возрастающая, не обладающая свойством a(d)a0 при da0, не будет минимизировать невязку.

Текст программы приведен в приложении 1. Полная распечатка результатов приведена в приложении 2. Здесь же представлены окончательные значения на выходе из программы.

Приближение к нормальному решению

Z(1)= 3.47834819174013E 0002

Z(2)=-1.08948394975175E 0003

Z(3)= 9.15566443137791E 0002

Значение правой части при подстановке прибл. решения

U1(1)= 9.99997717012495E-0001

U1(2)= 1.00000741970775E 0000

U1(3)= 1.09948402394883E 0000

Значение параметра регуляризации: 2.61934474110603E-0010