Полярная система координат - Курсовая работа

Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. В книге «Методы флукций» (написана в 1671 году , напечатана в 1736 году ) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. В статье, опубликованной в1691 году в журнале Acta eruditorum , Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Данная курсовая работа раскрывает понятие полярной системы координат и нахождение уравнений линий в полярных координатах, что обуславливает актуальность темы.Полярная система координат на плоскости - это совокупность точки , называемой полюсом, и полупрямой OX, называемой полярной осью. Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор , приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.1,а). Положение точки M в полярной системе координат определяется расстоянием r (полярным радиусом) от точки M до полюса (т.е. Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси: - в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;Луч, выходящий из заданной точки О, называется полярной осью, а. точку О полюсом полярной системы координат (рис. Произвольная точка плоскости имеет полярные координаты , где - расстояние от А до О, а - угол между векторами (направленным отрезком) и полярной осью, отсчитываемый от последней против часовой стрелки. Введем прямоугольную систему координат х, у, у которой положительная ось х совпадает с полярной осью (рис. Уравнение , где - непрерывная на отрезке функция, определяет в полярных координатах кривую Г - геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Тогда кривая Г такова, что любой луч, выходящий из полюса О под углом к оси х, где пересекает Г в одной точке (рис.4).(1.4) осуществляет переход от полярных (сферических) координат в пространстве к декартовым (рис. Здесь - расстояние точки Р(х,у,z) до начала координат (полюса полярной системы), - угол между радиус-вектором точки P и его проекции на плоскость - угол между указанной проекцией и положительным направлением оси x. Его отсчитывают в том направлении, в котором надо вращать вокруг оси z ось x, чтобы прийти к оси y кратчайшим путем. Пусть есть поверхность, описываемая в полярных координатах функцией , непрерывной на замыкании области и пусть - трехмерная область пространства (x,y.z), ограниченная поверхностью и конической поверхностью, лучи которой выходят из нулевой точки и опираются на край (рис. Чтобы наглядно получить элемент объема в полярных координатах, рассечем пространство на малые части концентрическими шаровыми поверхностями с центром в полярном полюсе (точке ), плоскостями, проходящими через ось z, и коническими поверхностями, определяемыми углами и (рис.Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Главное значение полярного угла находится по формулам (рис. Если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат {связанную с данной прямоугольной). В то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r: (по теореме Пифагора ). Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями (обозначает обратную функцию к тангенсу): Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями: Замечание 2.1.Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением для .Архимедова спираль названа в честь ее изобретателя, древнегреческого математика Архимеда . Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом .[14] Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением где - угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, где - наклон прямой в прямоугольной системе координат. Если - целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечетных , либо с лепестками для четных . Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задается уравнением: (2.

Содержание полярный система координата плоскость

Введение

1. Полярная система координат

1.1 Полярная система координат (полярные координаты)

1.2 Полярная система координат на плоскости

1.3 Полярная система координат в пространстве

2. Линии в полярных координатах

2.1 Связь между декартовыми и полярными координатами

2.2 Уравнения линий в полярных координатах

Заключение

Список используемой литературы

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в1625 году , напечатав свои труды в 1647 ; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году , и исправленную версию в1653 году . Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг .

В книге «Методы флукций» (написана в 1671 году , напечатана в 1736 году ) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат[6] . В статье, опубликованной в1691 году в журнале Acta eruditorum , Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определенных в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана . В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком[7] [8] Для трехмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро , а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза , архимедова спираль , Лемниската , улитка Паскаля и кардиоида , и тд.

Данная курсовая работа раскрывает понятие полярной системы координат и нахождение уравнений линий в полярных координатах, что обуславливает актуальность темы.

Тема курсовой работы: «Уравнение линий в полярных координатах»

Цель исследования: Раскрыть понятие полярной системы координат на плоскости и в пространстве и нахождения уравнения линий в полярных координатах.

Задачи: 1. Изучить полярную систему координат на плоскости и в пространстве;

2. Охарактеризовать процесс нахождения уравнения прямой в полярных координатах;

3. Применить нахождение уравнения прямой в полярных координатах на практике.

Методы исследования: · Теоретические: анализ, обобщение;

· Эмпирические: изучение документации;

· Статистические: обработка количественных данных.

Структура курсовой работы.

Курсовая работа состоит из введения, одной главы, заключения, списка литературы, включающего 15 наименований.

Во введении обоснована актуальность исследования, представлены данные анализа научно-теоретических предпосылок по теме курсовой работы, определены цель, сформулированы задачи, методы исследования.

В основной части рассмотрены полярная система координат на плоскости и в пространстве и нахождения уравнения линий в полярных координатах.

В заключении подведены общие итоги курсовой работы, изложены основные выводы, а так же практическая значимость работы.

В полярной системе координат, в отличии от прямоугольной, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением.

В данной курсовой работе мы исследовали полярную систему координат на плоскости и в пространстве, рассмотрели связь между декартовыми и полярными координатами, а так же уравнения линий в полярных координатах; рассмотрели несколько примеров по нахождению уравнения линий в полярных координатах

1) Математическая энциклопедия (в 5-ти томах). Москва: «Советская Энциклопедия». Т. 3, (Коо-Од). С. 234.

2) Маркушевич А. И. Замечательные кривые . Гостехиздат, 1952. 32 с. (Популярные лекции по математике , выпуск 4).

3) Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство). М.: Физматлит, 1960. С. 230-233. 293 с.. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7 .

4) Кардиоида // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. М.: Педагогика , 1985. С. 130-131. 352 с.

5) Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. 3-е изд., испр. М.: ЛКИ , 2008. 248 с. ISBN 978-5-382-00839-4 .

6)

7) Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., 1973 г. 872 с.

8) Полный курс современного рукоделия. Издательство: Харвест , 2007 г, 336 с.

Размещено на .ru