Полумарковская модель календарного технического обслуживания однокомпонентной системы с учетом минимального аварийного восстановления - Статья

Песчанский, доцент, канд. физ.-мат. наук Севастопольский национальный технический университет ул. Построена полумарковская модель и найдены стационарные характеристики функционирования простой системы с учетом минимального аварийного восстановления и периодически полным техническим обслуживанием.В частности, стратегия минимального аварийного восстановления с периодически полной заменой исследована в [1] в предположении, что время восстановления отказавшего элемента мгновенно. Такое допущение оправдано, если время восстановления значительно меньше времени безотказной работы системы. В противном случае время восстановления существенно влияет на стационарные характеристики и естественно исследовать функционирование системы в этом случае. Цель данной статьи - при указанной стратегии ТО и общих предположениях относительно времен безотказной работы и восстановления элементов системы определить стационарные надежностные и экономические показатели качества функционирования системы. Минимальное восстановление системы, проработавшей к моменту отказа время s, означает, что восстановленная система имеет «остаточную наработку» as с ФР F (t) = F(s t)s)F(s) .Отключение и включение элементов в систему происходит мгновенно. Требуется определить следующие показатели качества функционирования системы: стационарный коэффициент технического использования Ku(t), среднюю удельную прибыль S(t), приходящуюся на единицу календарного времени и средние удельные затраты C(t), приходящиеся на единицу времени исправного функционирования системы. Функционирование системы опишем полумарковским процессом (ПМП) x(t) с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний [3,4]. Система может находиться в трех физических состояниях: работоспособном, в состоянии МАВ и в состоянии ТО. , 1 - система возобновила работу после ТО; 2 - в системе началось ТО; 0s - произошел первый отказ через время s после последнего ТО; 0us - произошел аварийный отказ; после последнего ТО прошло время u , наработка за это время равна s ; 1us - возобновление работы после МАВ; после ТО прошло время u , наработка при этом равна s .Для определения среднего удельного дохода S(t) за единицу календарного времени и средних удельных затрат C(t), приходящихся на единицу времени исправного функционирования системы, используем формулы [5] om(z) fs(z)r(dz) S = E om(z)r(dz) , E om(z) fc(z)r(dz) C = E om(z)r(dz) , (4) E где fs(z), fc(z) - функции, определяющие соответственно доход и затраты в каждом состоянии. Функции fs(z) и fc(z) с учетом обозначений, введенных в постановочной части статьи, имеют вид: {} Определение оптимальных tu, ts, tc проведения ТО сводится к исследованию на экстремум соответственно K(t), S(t), C(t).Точки экстремума этих функций удовлетворяют уравнениям: (6) периодов функций Если каждое из этих уравнений имеет единственное решение, тогда оно определяет оптимальный период проведения ТО для достижения наилучшего значения соответствующего показателя качества функционирования системы.

Одним из методов улучшения стационарных показателей качества функционирования технических систем является их предупредительное техническое обслуживание (ТО). Обзор результатов по данной тематике содержится, например, в работах [1,2]. В частности, стратегия минимального аварийного восстановления с периодически полной заменой исследована в [1] в предположении, что время восстановления отказавшего элемента мгновенно. Такое допущение оправдано, если время восстановления значительно меньше времени безотказной работы системы. В противном случае время восстановления существенно влияет на стационарные характеристики и естественно исследовать функционирование системы в этом случае. Цель данной статьи - при указанной стратегии ТО и общих предположениях относительно времен безотказной работы и восстановления элементов системы определить стационарные надежностные и экономические показатели качества функционирования системы. Необходимо также установить оптимальные периодичности проведения ТО с целью достижения наилучших значений этих характеристик.

Постановка задачи и построение математической модели. Рассмотрим однокомпонентную систему. В нулевой момент времени система новая и время ее безотказной работы - случайная величина (СВ) a с функцией распределения (ФР) F(t) = P(a ? t). Индикация отказа элемента осуществляется мгновенно и начинается его минимальное аварийное восстановление (МАВ), которое длится случайное время b с ФР G(t) = P(b?t). Минимальное восстановление системы, проработавшей к моменту отказа время s, означает, что восстановленная система имеет «остаточную наработку» as с ФР F (t) = F(s t)s)F(s) . Таким образом, минимальное восстановление делает элемент работоспособным, s

(

F но по его окончании интенсивность отказов l(t) = F(t) такая же, как непосредственно перед отказом. Влияние МАВ на степень износа системы, тем самым, пренебрежительно мало. После второго минимального восстановления «остаточная наработка» элемента имеет ФР F (t) , где s - суммарная

( ) f t s наработка элемента после начала его эксплуатации и т.д. Кроме МАВ в системе предусмотрено проведение предупредительного ТО, которое планируется проводить через заранее заданный интервал времени t после начала эксплуатации системы независимо от ее состояния. Время проведения ТО - СВ bp с ФР Gp(t) = P bp ? t . После ТО все надежностные характеристики элементов полностью

( ) обновляются: так, наработка на отказ - СВ a и процесс функционирования системы повторяется. Временная диаграмма функционирования системы изображена на рисунке 1. ? ? ? ? ?s ? ?s ? ?p ?p ?p t ? ? ? ?

Рисунок 1 - Временная диаграмма функционирования системы

Вісник СЕВДТУ. Вип. 95: Автоматизація процесів та управління: зб. наук. пр. — Севастополь: Вид-во СЕВНТУ, 2009.

1. Байхельт Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход / Ф. Байхельт, П. Франкен. — М.: Радио и связь, 1988. — 392 с.

2. Половко А.М. Основы теории надежности / А.М. Половко, С.В. Гуров. — СПБ.: БХВ-Петербург, 2006. — 704 с.

3. Королюк В.С. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем / В.С.Королюк, А.Ф.Турбин. — К.: Наук. думка, 1982. — 236 с.

4. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем массового обслуживания / А.Н.Корлат, В.Н. Кузнецов, М.И. Новиков, А.Ф. Турбин. — Кишинев: Штиинца, 1991. — 209 с.

5. Шуренков В.М. Эргодические процессы Маркова / В.М. Шуренков. — М.: Наука, 1989. — 336 с.

Поступила в редакцию 2.09.2008 г.

Вісник СЕВДТУ. Вип. 95: Автоматизація процесів та управління: зб. наук. пр. — Севастополь: Вид-во Cetrial 2009.