Разделение понятия дифференциала функции на независимые переменные, разложение дифференциалов независимых переменных равными приращениями. Частные производные высших порядков. Расчет непрерывных частных производных всех порядков от сложных функций.
Аннотация к работе
Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные, положив дифференциалы независимых переменных равными их приращениям: dx=Dx; dy=Dy. Если в точке (x, y) функция z=f(x, y) дифференцируема и дифференциал dz?0 в этой точке, то ее полное приращение Dz= ¶z D x ¶z D y a (D x,D y)D x b (D x,D y)D y отличается от своей линейной части dz= Если функция u=f(x, y, z) имеет в некоторой (открытой) области D частную производную по одной из переменных, то найденная производная, сама являясь функцией от x, y, z, может в свою очередь в некоторой точке (x0, y0, z0) иметь частные производные по той же или по любой другой переменной. Предположим, что 1) функция f(x, y) определена в (открытой) области D, 2) в этой области существуют первые производные fx/ и fy/, а также вторые смешанные производные fxy// и fyx// и наконец, 3) эти последние производные fxy// и fyx//, как функции x и y, непрерывны в некоторой точке (x0, y0) области D. Если предположить существование непрерывных частных производных второго порядка для u, то du будет иметь непрерывные частные производные первого порядка и можно говорить о полном дифференциале от этого дифференциала du, d(du), который называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от u; он обозначается d2u.