Определение многочленов Чебышева, их краткая характеристика и особенности. Рассмотрение случая произвольного отрезка. Описание дифференциального уравнения многочленов и квадратурной формулы, сравнение их погрешностей. Общее понятие термина алгоритм.
Министерство образования и науки Украины Курсовая работа на тему:“ Полиномы Чебышева в вычислительной математике”Они часто встречаются во многих областях математики, от теории аппроксимации до теории чисел и топологии трехмерных многообразий.Многочлены Чебышева - две последовательности ортогональных многочленов Tn (x) и Un (x), n = {0,1,2…}, названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева . Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений , поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами . Многочлен Чебышева первого рода - Tn (x) - характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n - 1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [-1,1]. Впервые были рассмотрены самим Чебышевым. многочлен чебышева дифференциация алгоритм Многочлены Чебышева первого рода - Tn (x) - могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения: Многочлены Чебышева второго рода - Un (x) - могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения: 2.Иногда требуется найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке [a, b] среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1.Многочлены Чебышева возникают как решения некоторых типов дифференциальных уравнений и при разложении функций в ряды.Рассмотрим квадратурную формулу Чебышев предложил выбрать абсциссы ti таким образом, чтобы: 1) коэффициенты Bi были равны между собой; Возьмем функцию f (t) =1, будем иметь: Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид Подставляя эти функции в формулу (10), получим систему уравнений: (11) из которой могут быть определены неизвестные ti (i =1, 2,K, n).К примеру вычислим интеграл Поскольку интегрирование с помощью квадратурной формул Чебышева относится к методам с наивысшей алгебраической степенью точности, то результат, полученное значение интеграла при расчете данной формулы, при n=5, равно Ікв.Чебыш=0.785352 (отсюда следует что погрешность составляет 0,000046).5 0,868511 0,763367 x1= p/4 p/4*t1=p/4 p/4(-0,832498)=0,131489 x2= p/4 p/4*t2=p/4 p/4(-0,374341)=0,490985 x3= p/4 p/4*t3=p/4 p/4*0=0,785 x4=1-x2=1-0,490985 = 0,509015 x5=1-x1=1-0,131489=0,868511 y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118 y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494 y3=sin(x3) = sin(0,785)=0,706825 y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317 y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367 Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yiТаким образом, очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.
Многочлены Чебышева Тп (х) являются одним из наиболее замечательных семейств многочленов. Они часто встречаются во многих областях математики, от теории аппроксимации до теории чисел и топологии трехмерных многообразий. Мы обсудим некоторые наиболее простые, но весьма важные свойства многочленов Чебышева.
Вывод
Таким образом, очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.
Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом.
Список литературы
1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“.
2. Л.В.Канторович, В.И.Крылов «Приближенные методы высшего анализа». Л., Физматгиз, 1962г. 708стр. с илл. Редактор Г. П. Акилов.
3. Б.П.Демидович, И.А.Марон «Основы вычислительной математики» М.,1966г. 664 стр. о илл. Редакторы М.М.Горячая и В.М.Гринберг.
4. Копченова Н.В., Марон И.А. «Вычислительная математика в примерах и задачах». Учебное пособие. 2-е изд., стер. - СПБ. 2008г. 368с. - (Учебники для вузов. Специальная литература).
5. Зуев Е.А. «Язык программирования Turbo Pascal 6.0, 7.0» М.: Веста, Радио и связь, 1993г. 384с.:ил.
6. Н.Ф.Добрынина, Л.Н.Домнин «Квадратурные и кубатурные формулы». Методические указания к выполнению вычислительных лабораторных работ. 2007г. 43 стр. Пензенский государственный университет.
7. П.Л. Чебышев "Избранные труды" том 2, издательство академии наук СССР, Москва 1955;
