Початково-крайові та спектральні задачі з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії - Автореферат

Національна академія наук України Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукНауковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Копачевський Микола Дмитрович, Таврійський національний університет імені В.І. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Пивоварчик Вячеслав Миколайович, Південноукраїнський національний педагогічний університет ім. кандидат фізико-математичних наук, доцент Маламуд Марк Мордкович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк. Захист відбудеться «15 » вересня 2010 р. о 16:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м.При дослідженні реальних фізичних процесів важливим завданням є проблема вивчення динамічних систем з дисипацією, яка здійснюється як у середині обєму, займаного суцільним середовищем, так і на поверхні зіткнення середовищ. Починаючи з середини XX століття багато початково-крайових задач математичної фізики, які повязані з проблемою малих рухів і власних (нормальних) коливань суцільних середовищ, вивчаються методами функціонального аналізу. Ці методи дозволяють досліджувати одномірні та багатомірні лінійні задачі математичної фізики, зокрема, не залишилися осторонь і задачі с поверхневою та внутрішньою дисипацією енергії. Слід зазначити, що тематика вивчення початково-крайових задач з дисипацією енергії не вичерпала себе, і дана робота є продовженням таких досліджень. Результати досліджень, які ввійшли до дисертації, пройшли апробацію в наступних науково-дослідних темах: 254/06 "Операторні методи в початково-крайових, спектральних і екстремальних задачах" (2006-2008 рр.); 271/09 "Операторні методи в лінійному і нелінійному аналізі початково-крайових, спектральних, варіаційних і біфуркаційних задач математичної фізики" (2009-2011 рр.).У розділі 2 вивчається лінійна початково-крайова задача математичної фізики з поверхневою дисипацією енергії, а також її узагальнення на основі використання абстрактної формули Гріна для трійки гільбертових просторів і оператора сліду. У довільній області з ліпшицевою межею розглядається початково-крайова задача математичної фізики з поверхневою дисипацією енергії На просторі визначений оператор (абстрактний оператор сліду), обмежено діючий з в , і Тоді існують оператори і , означувані по і єдиним чином, такі що має місце формула Гріна Формулювання абстрактної початково-крайової задачі з поверхневою дисипацією енергії має наступний вид: знайти функцію зі значеннями в , яка є розвязком наступної початково-крайової задачі Зазначимо, що задача (1)-(2) є окремий випадок абстрактної задачі (4) при , із скалярним твором , Абстрактна початково-крайова задача (4) з поверхневою дисипацією енергії досліджена методами функціонального аналізу.Тоді задача (15) має дискретний спектр, що складається із скінченнократних власних значень з граничною точкою Таким чином, якщо дисипація в динамічній системі досить мала, то спектр задачі (18),(19) локалізований в околиці уявній осі і має властивості, описані в теоремі 3.5, а кореневі елементи мають властивості двократної повноти. Таким чином, у разі середньої внутрішньої дисипації відбувається перебудова спектру: спектр задачі локалізований в околиці додатної півосі, дискретний і має граничну точку При деяких додаткових припущеннях про асимптотичну поведінку власних значень операторів і система кореневих елементів задачі (23) утворює базис Абеля-Лідського в . У разі великої інтенсивності внутрішньої дисипації, коли в задачі (19) корисно здійснити зрушення спектру, тобто вивчати задачу Теорема 3.10 Нехай в задачі (27) виконані умови Тоді розвязки цієї задачі мають наступні властивості: 1.

Основний зміст дисертації

1. Андронова О.А. Начально-краевая задача математической физики с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Таврическая научная конференция студентов и специалистов по информатике и математике (Украина, Симферополь, 20-21 апреля, 2005): Тезисы докладов. Вып. 2. - С. 3 - 7.

2. Андронова О.А. Начально-краевая задача математической физики с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Таврическая научная конференция студентов и специалистов по информатике и математике (Украина, Симферополь, 27-28 апреля, 2006): Тезисы докладов. - Вып. 3. - С. 5 - 8.

3. Андронова О.А. Начально-краевые и спектральные задачи с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова, Н.Д. Копачевский // Всеукраїнська наукова конференція молодих вчених и студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвячена 100-річному ювілею Я.Б. Лопатиського (Україна, Донецьк, 6-7 грудня, 2006): Тези доповідей. - 2006. - С. 12.

4. Andronova O. Operator approach to dynamic system with surface dissipation of an energy / O. Andronova, N. Kopachevsky // International Conference Modern Analysis and Applications (MAA 2007), dedicated to the centenary of Mark Krein: Book of Abstracts. - Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007. - P. 11.

5. Андронова О.А. Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды ИПММ НАН Украины. - Донецк: Инст. прикл. мат. и мех. НАН Украины, 2008. - Том 16. - С. 13 - 25.

6. Андронова О.А. Задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // II Міжнародна конференція молодих вчених з диференціальних рівнянь та їх застосувань ім. Я.Б. Лопатиського (Україна, Донецьк, 11-14 листопада, 2008): Тези доповідей. - 2008. - С. 39.

7. Андронова О.А. О линейных задачах с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова, Н.Д. Копачевский // Современная математика. Фундаментальные направления. - Москва: Рос. инст. дружбы нар., 2008. - Том 29. - С. 11-28.

8. Андронова О.А. Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды ИПММ НАН Украины. - Донецк: Инст. прикл. мат. и мех. НАН Украины, 2009. - Том 18. - С. 10 - 22.

9. Начально-краевые и спектральные задачи с поверхностной диссипацией энергии: тезисы докладов Украинского математического конгресса - 2009 (Украина, Киев, 27-29 августа, 2009) [Электронный ресурс] / О.А. Андронова // Тезисы докладов. - 2009. - С. 1 - 2. - Режим доступа к журн.: 10. Андронова О.А. Начально-краевые и спектральные задачи с поверхностной и внутренней диссипацией энергии / О.А. Андронова // Ученые записки Таврического Национального Университета им. В.И. Вернадского, серия Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. - Симферополь, 2009. - T. 22 (61). 1. - С. 1 - 13.